반갑습니다! 수학과 물리를 가르치는 교사입니다. 오늘 함께 풀어볼 문제는 벡터의 성질과 기하학적 도형의 넓이를 융합한 아주 멋진 문제입니다.
겉보기에는 복잡해 보이지만, 벡터를 우리가 잘 아는 '기준점'을 중심으로 분해하고 단순화하면 실타래가 풀리듯 쉽게 해결할 수 있습니다. 선생님과 함께 한 단계씩 차근차근 해결해 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 벡터의 합 식을 정리하여 크기가 최대가 되는 조건을 찾고, 그때 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 벡터의 시점 통일과 분해: 복잡한 벡터를 우리가 위치를 정확히 아는 점($D, E, F$)을 기준으로 나누어 생각합니다.
- 벡터의 합과 최댓값: 여러 벡터를 더했을 때 크기가 가장 커지려면 각 벡터가 어떤 방향을 가져야 하는지 이해합니다.
- 도형의 평행이동과 넓이: 모든 꼭짓점이 같은 방향과 크기로 이동(평행이동)하면, 도형의 모양과 넓이는 변하지 않는다는 성질을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 복잡한 벡터 식을 아는 점($D, E, F$)을 기준으로 분해하기
조건 (나)에 주어진 식은 다음과 같습니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{AX}} = \overrightarrow{\mathrm{PB}} + \overrightarrow{\mathrm{QC}} + \overrightarrow{\mathrm{RA}}$$
우리는 점 $D, E, F$의 위치를 정확히 알고 있고, 조건 (가)에서 점 $P, Q, R$이 각각 $D, E, F$를 중심으로 하는 반지름이 $1$인 원 위에 있다는 것을 알고 있습니다. 따라서 우변의 벡터들을 $D, E, F$를 거쳐 가도록 분해해 봅시다.
- $\overrightarrow{\mathrm{PB}} = \overrightarrow{\mathrm{PD}} + \overrightarrow{\mathrm{DB}}$
- $\overrightarrow{\mathrm{QC}} = \overrightarrow{\mathrm{QE}} + \overrightarrow{\mathrm{EC}}$
- $\overrightarrow{\mathrm{RA}} = \overrightarrow{\mathrm{RF}} + \overrightarrow{\mathrm{FA}}$
이 식들을 원래 식에 대입하여 정리해 봅시다.
$$\overrightarrow{\mathrm{AX}} = (\overrightarrow{\mathrm{PD}} + \overrightarrow{\mathrm{DB}}) + (\overrightarrow{\mathrm{QE}} + \overrightarrow{\mathrm{EC}}) + (\overrightarrow{\mathrm{RF}} + \overrightarrow{\mathrm{FA}})$$
여기서 고정된 벡터들과 움직이는 벡터들을 따로 모아서 묶어줍니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{AX}} = (\overrightarrow{\mathrm{DB}} + \overrightarrow{\mathrm{EC}} + \overrightarrow{\mathrm{FA}}) + (\overrightarrow{\mathrm{PD}} + \overrightarrow{\mathrm{QE}} + \overrightarrow{\mathrm{RF}})$$
2단계: 고정된 벡터들의 합 계산하기
이제 앞부분의 괄호인 $\overrightarrow{\mathrm{DB}} + \overrightarrow{\mathrm{EC}} + \overrightarrow{\mathrm{FA}}$를 계산해 봅시다.
점 $D, E, F$는 각각 선분 $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CA}$를 $1:3$으로 내분하는 점입니다. 삼각형 한 변의 길이가 $4$이므로, 각 벡터는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
- $\overrightarrow{\mathrm{DB}} = \frac{3}{4}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
- $\overrightarrow{\mathrm{EC}} = \frac{3}{4}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$
- $\overrightarrow{\mathrm{FA}} = \frac{3}{4}\overrightarrow{\mathrm{CA}}$
이 세 벡터를 더하면 어떻게 될까요?
$$\overrightarrow{\mathrm{DB}} + \overrightarrow{\mathrm{EC}} + \overrightarrow{\mathrm{FA}} = \frac{3}{4}(\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}} + \overrightarrow{\mathrm{CA}})$$
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 한 바퀴를 도는 벡터의 합 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}} + \overrightarrow{\mathrm{CA}}$는 영벡터($\vec{0}$)가 됩니다. 따라서,
$$\overrightarrow{\mathrm{DB}} + \overrightarrow{\mathrm{EC}} + \overrightarrow{\mathrm{FA}} = \vec{0}$$
이 결과 덕분에 식은 아주 간단해집니다!
$$\overrightarrow{\mathrm{AX}} = \overrightarrow{\mathrm{PD}} + \overrightarrow{\mathrm{QE}} + \overrightarrow{\mathrm{RF}} = -(\overrightarrow{\mathrm{DP}} + \overrightarrow{\mathrm{EQ}} + \overrightarrow{\mathrm{FR}})$$
3단계: $|\overrightarrow{\mathrm{AX}}|$가 최대가 되는 조건 찾기
우리가 구하고자 하는 것은 $|\overrightarrow{\mathrm{AX}}|$의 최댓값입니다.
$$|\overrightarrow{\mathrm{AX}}| = |-(\overrightarrow{\mathrm{DP}} + \overrightarrow{\mathrm{EQ}} + \overrightarrow{\mathrm{FR}})| = |\overrightarrow{\mathrm{DP}} + \overrightarrow{\mathrm{EQ}} + \overrightarrow{\mathrm{FR}}|$$
조건 (가)에서 세 벡터의 크기는 모두 $1$로 고정되어 있습니다.
$$|\overrightarrow{\mathrm{DP}}| = |\overrightarrow{\mathrm{EQ}}| = |\overrightarrow{\mathrm{FR}}| = 1$$
크기가 $1$인 세 벡터를 더했을 때 그 합의 크기가 가장 커지려면, 세 벡터가 모두 같은 방향을 가리켜야 합니다. (마치 세 사람이 같은 방향으로 힘을 합쳐 당길 때 알짜힘이 가장 큰 것과 같습니다.)
즉, 어떤 단위벡터 $\vec{u}$에 대하여 다음과 같을 때 $|\overrightarrow{\mathrm{AX}}|$는 최댓값 $3$을 가집니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{DP}} = \overrightarrow{\mathrm{EQ}} = \overrightarrow{\mathrm{FR}} = \vec{u}$$
4단계: 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이 $S$ 구하기
위의 조건에서 점 $P, Q, R$은 각각 점 $D, E, F$를 동일한 벡터 $\vec{u}$만큼 평행이동한 점들입니다.
- $P = D + \vec{u}$
- $Q = E + \vec{u}$
- $R = F + \vec{u}$
삼각형의 세 꼭짓점을 모두 같은 방향, 같은 거리만큼 평행이동시켰으므로, **삼각형 $\mathrm{PQR}$은 삼각형 $\mathrm{DEF}$와 합동**입니다!
따라서 구하고자 하는 넓이 $S$는 삼각형 $\mathrm{DEF}$의 넓이와 같습니다.
이제 삼각형 $\mathrm{DEF}$의 넓이를 구해봅시다. 전체 정삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이에서 모퉁이에 있는 세 삼각형의 넓이를 빼는 방법을 사용하겠습니다.
- **전체 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이**:
한 변의 길이가 $4$인 정삼각형이므로,
$$\text{넓이}(\mathrm{ABC}) = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4\sqrt{3}$$
- **모퉁이 삼각형 $\mathrm{ADF}$의 넓이**:
* $AD = 1$
* $AF = 3$ (변 $\mathrm{CA}$의 길이 $4$에서 $CF=1$을 뺀 값)
* 사잇각 $\angle A = 60^\circ$
$$\text{넓이}(\mathrm{ADF}) = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 \times \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$$
- 나머지 모퉁이 삼각형들:
대칭성에 의해 삼각형 $\mathrm{BED}$와 $\mathrm{CFE}$의 넓이도 $\mathrm{ADF}$와 같습니다.
$$\text{넓이}(\mathrm{BED}) = \text{넓이}(\mathrm{CFE}) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$$
따라서, 삼각형 $\mathrm{DEF}$의 넓이 $S$는 다음과 같습니다.
$$S = 4\sqrt{3} - 3 \times \frac{3\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} - \frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3} - 9\sqrt{3}}{4} = \frac{7\sqrt{3}}{4}$$
5단계: 최종 값 계산하기
우리가 구해야 하는 값은 $16S^2$입니다.
$$S^2 = \left(\frac{7\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{49 \times 3}{16} = \frac{147}{16}$$
따라서,
$$16S^2 = 16 \times \frac{147}{16} = 147$$
답
$$147$$
확인해보기
질문: 만약 점 $D, E, F$가 각 변을 $1:3$이 아니라 $1:1$로 내분하는 점(즉, 각 변의 중점)이었다면, $|\overrightarrow{\mathrm{AX}}|$가 최대일 때 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이 $S$는 얼마가 될까요? 오늘 배운 원리를 적용해 스스로 계산해 보세요!