어떤 문제인가
이 문제는 주어진 5개의 문자 중에서 똑같은 문자가 섞여 있을 때, 이들을 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **순열 ($n!$)**: 서로 다른 $n$개를 일렬로 나열하는 방법의 수입니다.
- 같은 것이 있는 순열: 나열하려는 대상 중에 모양이 똑같은 것이 섞여 있을 때, 중복되는 경우를 제외하고 나열하는 방법입니다.
단계별 풀이
1단계: 모든 문자가 서로 다르다고 가정하고 나열해 보기
먼저, 5개의 문자 $x, x, y, y, z$가 모두 서로 다른 문자(예: $x_1, x_2, y_1, y_2, z$)라고 가정해 봅시다.
서로 다른 5개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $5!$ (5 팩토리얼)입니다.
$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$
2단계: 똑같은 문자 때문에 생기는 중복 제거하기
하지만 실제로는 $x$가 2개, $y$가 2개로 서로 같습니다.
- 똑같은 $x$ 2개가 자기들끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 $2! = 2$가지입니다. 이 자리를 바꾸는 것은 겉보기에는 똑같은 배열이므로, 이 중복을 없애주어야 합니다.
- 마찬가지로 똑같은 $y$ 2개가 자기들끼리 자리를 바꾸는 방법의 수도 $2! = 2$가지입니다. 이 또한 중복이므로 없애주어야 합니다.
3단계: 공식에 대입하여 최종 경우의 수 계산하기
전체 나열하는 수에서 중복되는 만큼 나누어 줍니다. 공식으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$\frac{5!}{2! \times 2!}$$
이제 이 식을 계산해 봅시다.
$$\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{120}{4} = 30$$
따라서 5개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 총 $30$가지입니다.
답
**③ $30$**
확인해보기
오늘 배운 '같은 것이 있는 순열' 개념을 잘 이해했는지 확인해 볼까요?
> 질문: 5개의 문자 $a, a, a, b, b$를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는 몇 가지일까요? (식과 답을 스스로 공책에 적어보세요!)