어떤 문제인가
이 문제는 두 사건이 서로 영향을 주지 않는 '독립'일 때의 성질과, 어떤 사건이 일어나지 않을 확률인 '여사건'의 성질을 이용하여 사건 $B$가 일어날 확률 $\mathrm{P}(B)$를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 여사건의 확률: 사건 $A$가 일어나지 않을 확률 $\mathrm{P}(A^C)$는 전체 확률 $1$에서 사건 $A$가 일어날 확률을 뺀 것과 같습니다. 즉, $\mathrm{P}(A^C) = 1 - \mathrm{P}(A)$ 입니다.
- 독립사건의 곱셈정리: 두 사건 $A, B$가 서로 독립일 때, 두 사건이 동시에 일어날 확률은 각각의 확률을 곱한 것과 같습니다. 즉, $\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) \times \mathrm{P}(B)$ 입니다.
단계별 풀이
1단계: 여사건의 성질을 이용하여 $\mathrm{P}(A)$ 구하기
문제에서 $\mathrm{P}(A^C) = 2\mathrm{P}(A)$라는 관계식을 주었습니다. 우리는 사건 $A$와 그 여사건 $A^C$의 확률의 합이 항상 $1$이라는 것을 알고 있습니다.
$$\mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(A^C) = 1$$
이 식에 문제의 조건인 $\mathrm{P}(A^C) = 2\mathrm{P}(A)$를 대입해 봅시다.
$$\mathrm{P}(A) + 2\mathrm{P}(A) = 1$$
$$3\mathrm{P}(A) = 1$$
양변을 $3$으로 나누면 사건 $A$가 일어날 확률을 구할 수 있습니다.
$$\mathrm{P}(A) = \frac{1}{3}$$
2단계: 독립사건의 성질을 이용하여 $\mathrm{P}(B)$ 구하기
문제에서 두 사건 $A$와 $B$가 '서로 독립'이라고 했습니다. 두 사건이 독립일 때만 쓸 수 있는 아주 중요한 공식이 있었죠? 바로 교집합의 확률이 각 확률의 곱과 같다는 성질입니다.
$$\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) \times \mathrm{P}(B)$$
문제에서 주어진 $\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{4}$과, 1단계에서 우리가 구한 $\mathrm{P}(A) = \frac{1}{3}$을 이 공식에 대입해 봅시다.
$$\frac{1}{4} = \frac{1}{3} \times \mathrm{P}(B)$$
우리가 구하고자 하는 것은 $\mathrm{P}(B)$이므로, 양변에 $3$을 곱해줍니다.
$$\mathrm{P}(B) = \frac{1}{4} \times 3 = \frac{3}{4}$$
답
④ $\frac{3}{4}$
확인해보기
두 사건 $A$와 $B$가 서로 독립일 때, 사건 $A$가 일어났다는 조건 하에 사건 $B$가 일어날 조건부 확률인 $\mathrm{P}(B|A)$는 결국 무엇과 같아질까요? (힌트: 독립의 의미를 떠올려 보세요!)