어떤 문제인가
이 문제는 6장의 카드를 일렬로 나열할 때, **양 끝에 놓인 두 카드에 적힌 수의 합이 $10$ 이하가 될 확률**을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 확률의 기본 정의: $\text{확률} = \frac{\text{조건을 만족하는 경우의 수}}{\text{모든 경우의 수}}$
- 여사건의 확률: '합이 $10$ 이하'인 경우를 직접 구하는 것보다, 반대 사건인 **'합이 $10$보다 큰 경우'**를 구해서 전체 확률 $1$에서 빼는 것이 훨씬 빠르고 간단합니다.
단계별 풀이
1단계: 전체 경우의 수 구하기 (양 끝에 카드가 놓이는 경우)
우리는 양 끝에 놓이는 두 카드에만 관심이 있으므로, 6장의 카드 중 양 끝(맨 왼쪽과 맨 오른쪽)에 놓일 카드 2장을 순서를 고려하여 선택하는 경우의 수만 생각하면 됩니다.
- 맨 왼쪽에 올 수 있는 카드는 $6$장 중 하나입니다.
- 맨 오른쪽에 올 수 있는 카드는 남은 $5$장 중 하나입니다.
따라서 양 끝에 카드를 놓는 전체 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$6 \times 5 = 30 \text{가지}$$
2단계: 여사건(반대 사건) 생각하기
'두 수의 합이 $10$ 이하'의 반대 사건은 **'두 수의 합이 $10$보다 큰(즉, $11$ 이상인) 경우'**입니다.
우리가 가진 카드는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$입니다. 이 중에서 두 수를 더해 $10$보다 커지는 경우를 찾아봅시다.
- 두 수의 합이 가장 클 때는 $5$와 $6$을 더한 $11$입니다.
- 따라서 합이 $10$보다 큰 경우는 **두 수의 합이 $11$이 되는 경우**뿐입니다.
이 조건을 만족하는 카드의 조합은 오직 $\{5, 6\}$ 하나밖에 없습니다.
3단계: 여사건의 경우의 수 구하기
양 끝에 $5$와 $6$이 오는 경우의 수를 구합니다.
- (맨 왼쪽, 맨 오른쪽)에 올 수 있는 순서는 $(5, 6)$ 또는 $(6, 5)$로 총 **$2$가지**입니다.
4단계: 여사건의 확률을 이용하여 답 구하기
먼저, 양 끝에 놓인 카드의 합이 $10$보다 클 확률(여사건의 확률)을 구합니다.
$$\text{여사건의 확률} = \frac{\text{여사건의 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$$
우리가 구하고자 하는 확률은 전체 확률 $1$에서 여사건의 확률을 뺀 것입니다.
$$\text{구하는 확률} = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$$
답
⑤ $\frac{14}{15}$
확인해보기
숫자 $1, 2, 3, 4, 5$가 적힌 $5$장의 카드를 일렬로 나열할 때, **양 끝에 놓인 두 수의 합이 $7$ 이하가 될 확률을 구하려고 합니다. 이 문제를 '여사건'을 이용해서 풀 때, 반대되는 사건(합이 $7$보다 큰 경우)에 해당하는 두 수의 쌍**은 무엇무엇이 있을까요? (스스로 생각해보세요!)