어떤 문제인가
이 문제는 여러 번의 독립적인 시행(동전 던지기)을 통해 얻은 확률변수 $X$를 바탕으로, 새로운 규칙을 적용해 만든 **새로운 이산확률변수 $Y$의 평균**을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요:
- 독립시행의 확률: 동전을 던져 앞면이 나올 확률을 구하는 방법
- 두 확률변수 사이의 관계: 조건에 따라 $X$의 값을 $Y$의 값으로 변환하는 방법
- **이산확률변수의 평균 ($\mathrm{E}(Y)$)**: (확률변수의 값 $\times$ 그 값이 나올 확률)의 총합을 구하는 방법
단계별 풀이
1단계: 원래 확률변수 $X$의 확률분포 구하기
동전 4개를 동시에 던질 때, 앞면이 나오는 동전의 개수 $X$가 가질 수 있는 값은 $0, 1, 2, 3, 4$입니다.
동전 하나를 던져 앞면이 나올 확률은 $\frac{1}{2}$이므로, 독립시행의 확률 공식을 이용해 각각의 확률을 구해봅시다. 전체 경우의 수는 $2^4 = 16$가지입니다.
- $X=0$일 확률: 앞면이 0개 나올 확률
$$P(X=0) = \binom{4}{0} \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$$
- $X=1$일 확률: 앞면이 1개 나올 확률
$$P(X=1) = \binom{4}{1} \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{4}{16}$$
- $X=2$일 확률: 앞면이 2개 나올 확률
$$P(X=2) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{6}{16}$$
- $X=3$일 확률: 앞면이 3개 나올 확률
$$P(X=3) = \binom{4}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{4}{16}$$
- $X=4$일 확률: 앞면이 4개 나올 확률
$$P(X=4) = \binom{4}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$$
2단계: 새로운 확률변수 $Y$의 확률분포 구하기
이제 문제에서 정의한 새로운 확률변수 $Y$의 값과 그에 따른 확률을 구해봅시다.
조건을 보면 다음과 같습니다:
- $X$가 $0$ 또는 $1$이면, $Y$는 $X$와 같은 값을 가집니다.
- $X$가 $2$ 이상이면, $Y$는 무조건 $2$가 됩니다.
이를 바탕으로 $Y$가 가질 수 있는 값($0, 1, 2$)과 각각의 확률을 구해봅시다.
- **$Y=0$일 확률**: $X=0$일 때이므로,
$$P(Y=0) = P(X=0) = \frac{1}{16}$$
- **$Y=1$일 확률**: $X=1$일 때이므로,
$$P(Y=1) = P(X=1) = \frac{4}{16}$$
- **$Y=2$일 확률**: $X \ge 2$일 때이므로, $X$가 $2, 3, 4$일 확률을 모두 더합니다.
$$P(Y=2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = \frac{6}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{11}{16}$$
*(참고: 여사건을 이용해 $1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - \frac{1}{16} - \frac{4}{16} = \frac{11}{16}$으로 구해도 똑같습니다!)*
이를 표로 정리하면 다음과 같습니다:
| $Y$ | $0$ | $1$ | $2$ | 합계 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P(Y)$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{4}{16}$ | $\frac{11}{16}$ | $1$ |
3단계: $Y$의 평균 $\mathrm{E}(Y)$ 계산하기
평균은 **(변수의 값 $\times$ 확률)**을 모두 더해서 구합니다.
$$\mathrm{E}(Y) = \sum y \cdot P(Y=y)$$
$$\mathrm{E}(Y) = \left(0 \times \frac{1}{16}\right) + \left(1 \times \frac{4}{16}\right) + \left(2 \times \frac{11}{16}\right)$$
$$\mathrm{E}(Y) = 0 + \frac{4}{16} + \frac{22}{16}$$
$$\mathrm{E}(Y) = \frac{26}{16} = \frac{13}{8}$$
답
② $\frac{13}{8}$
확인해보기
만약 문제에서 확률변수 $Y$의 조건이 다음과 같이 바뀌었다면, $\mathrm{E}(Y)$의 값은 얼마가 될지 스스로 계산해 보세요!
$$Y = \begin{cases} X & (X\text{가 } 0, 1, 2\text{의 값을 가지는 경우}) \\ 3 & (X\text{가 } 3 \text{ 이상의 값을 가지는 경우}) \end{cases}$$