어떤 문제인가
이 문제는 표본의 정보를 바탕으로 모집단의 평균(모평균 $m$)이 어떤 범위에 있을지 추정하는 모평균의 신뢰구간에 관한 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 모평균의 신뢰구간 공식: 표본평균 $\bar{x}$, 모표준편차 $\sigma$, 표본의 크기 $n$, 신뢰도에 따른 상수 $k$를 알 때, 모평균 $m$의 신뢰구간은 다음과 같이 구합니다.
$$\bar{x} - k \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{x} + k \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
- 주어진 조건 대입하기: 문제에서 주어진 숫자들을 공식에 차근차근 대입하여 식을 단순하게 만듭니다.
- 연립방정식 풀기: 공식으로 구한 신뢰구간과 문제에서 제시한 신뢰구간 $a \le m \le \frac{6}{5}a$를 비교하여 우리가 원하는 $\bar{x}$를 찾아냅니다.
단계별 풀이
1단계: 공식에 필요한 값들을 정리해 봅시다.
문제에서 친절하게 많은 단서들을 주었어요. 하나씩 매칭해 볼까요?
- 모집단의 표준편차 $\sigma = 5$ (정규분포 $\text{N}(m, 5^2)$에서 확인 가능)
- 표본의 크기 $n = 49$ (따라서 $\sqrt{n} = \sqrt{49} = 7$)
- 신뢰도 $95\%$일 때의 상수 $k = 1.96$ ($\text{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95$에서 확인 가능)
2단계: 신뢰구간의 '오차한계'(흔히 말하는 $\pm$ 뒷부분)를 계산해 봅시다.
공식에서 $\bar{x}$의 양옆에 더하고 빼지는 값인 $k \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$을 먼저 계산해 두면 식이 아주 깔끔해집니다.
$$k \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times \frac{5}{7}$$
소수 계산을 쉽게 하기 위해 $1.96$을 $7$로 먼저 나누어 볼까요? $1.96 \div 7 = 0.28$입니다.
$$0.28 \times 5 = 1.4$$
따라서, 우리가 구하고자 하는 모평균 $m$의 신뢰구간은 다음과 같이 정리됩니다.
$$\bar{x} - 1.4 \le m \le \bar{x} + 1.4$$
3단계: 문제에 제시된 신뢰구간과 비교하여 식을 세워 봅시다.
문제에서 신뢰구간이 $a \le m \le \frac{6}{5}a$라고 했습니다. 2단계에서 구한 식과 비교하면 다음과 같은 두 개의 식을 얻을 수 있습니다.
1) $a = \bar{x} - 1.4$
2) $\frac{6}{5}a = \bar{x} + 1.4$
4단계: 연립방정식을 풀어 $\bar{x}$를 구해 봅시다.
두 식을 연립하여 $a$를 먼저 구해 보겠습니다.
2번 식에서 1번 식을 통째로 빼 볼까요? 우변의 $\bar{x}$가 사라져서 계산이 아주 쉬워집니다.
$$\left(\frac{6}{5}a\right) - a = (\bar{x} + 1.4) - (\bar{x} - 1.4)$$
$$\frac{1}{5}a = 2.8$$
양변에 $5$를 곱하면 $a$의 값을 구할 수 있습니다.
$$a = 2.8 \times 5 = 14$$
이제 구한 $a = 14$를 1번 식($a = \bar{x} - 1.4$)에 대입해 봅시다.
$$14 = \bar{x} - 1.4$$
$$\bar{x} = 14 + 1.4 = 15.4$$
우리가 찾던 표본평균 $\bar{x}$의 값은 $15.4$이군요!
답
**② $15.4$**
확인해보기
신뢰구간의 원리를 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 만약 다른 조건(표본평균, 표준편차, 신뢰도 등)은 모두 그대로 두고, 표본의 크기 $n$만 $49$에서 $100$으로 늘려서 신뢰구간을 다시 구한다면, 신뢰구간의 길이(오른쪽 끝값에서 왼쪽 끝값을 뺀 값)는 처음보다 늘어날까요, 줄어들까요, 아니면 그대로일까요? 그 이유를 공식의 형태를 보고 생각해 보세요.