어떤 문제인가
카드를 복원추출하며 주머니 B에 공을 넣는 시행을 4번 반복했을 때, "공이 8개"라는 조건 아래에서 "검은 공이 2개"일 조건부확률을 구하는 문제예요. 매 시행은 카드를 복원추출하므로 서로 독립이고, 각 시행의 결과는 다음 세 유형으로 나뉘어요.
| 카드 | 확률 | B에 넣는 공 | 공 개수 | 검은 공 |
|---|---|---|---|---|
| $1$ | $\frac{1}{4}$ | 흰 $1$ | $1$ | $0$ |
| $2$ 또는 $3$ | $\frac{1}{2}$ | 흰 $1$+검 $1$ | $2$ | $1$ |
| $4$ | $\frac{1}{4}$ | 흰 $2$+검 $1$ | $3$ | $1$ |
$4$번의 시행에서 각 유형이 나온 횟수를 $(a, b, c)$로 놓고, "공 $8$개" 조건을 만족하는 경우를 모두 찾아 조건부확률을 계산하면 됩니다. 핵심 개념은 독립시행의 확률 과 조건부확률이에요.
단계별 풀이
- 공이 8개가 되는 횟수 조합을 먼저 찾아요. 시행 횟수와 공의 총개수에서 두 방정식이 나와요.
$$a+b+c=4, \qquad a+2b+3c=8$$
두 식을 빼면 $b+2c=4$이므로 가능한 $(a,b,c)$는
$$(0,4,0), \quad (1,2,1), \quad (2,0,2)$$
의 세 가지예요. 이때 검은 공의 개수는 $b+c$이므로 각각 $4$개, $3$개, $2$개가 됩니다. 즉 **검은 공이 $2$개인 경우는 $(a,b,c)=(2,0,2)$ 하나뿐**이에요.
- 각 경우의 확률을 독립시행의 확률로 계산해요. 유형별 확률이 $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$이므로
$$P(0,4,0)=\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{16}{256}$$
$$P(1,2,1)=\frac{4!}{1!\,2!\,1!}\cdot\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{4}=12\cdot\frac{1}{64}=\frac{48}{256}$$
$$P(2,0,2)=\frac{4!}{2!\,0!\,2!}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2=6\cdot\frac{1}{256}=\frac{6}{256}$$
- 조건부확률을 구해요. 분모는 "공 8개"인 전체 확률, 분자는 그중 "검은 공 2개"인 확률이에요.
$$P(\text{공 }8\text{개})=\frac{16+48+6}{256}=\frac{70}{256}$$
$$P(\text{검은 공 }2\text{개}\mid \text{공 }8\text{개})=\frac{6/256}{70/256}=\frac{6}{70}=\frac{3}{35}$$
검산
카드 $4$장이 나올 확률이 모두 같으므로, $4$회 시행의 전체 경우 $4^4=256$가지를 하나하나 나열해 세어 볼 수 있어요. 실제로 세어 보면 공의 총개수가 $8$인 경우는 $70$가지이고, 그중 검은 공이 $2$개인 경우는 $6$가지라서 $\frac{6}{70}=\frac{3}{35}$가 계산 결과와 정확히 일치해요.
답
$\dfrac{3}{35}$ — 선택지 ④
확인해보기
만약 문제가 "검은 공이 3개일 확률"을 물었다면 분자에 어떤 $(a,b,c)$ 경우의 확률이 들어가야 할까요? 1단계의 결과를 보고 스스로 골라 보세요.