어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건 $a \le c \le d$와 $b \le c \le d$를 만족하는 $6$ 이하의 자연수 $a, b, c, d$의 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 기준 세우기 (경우 나누기): 여러 변수가 얽혀 있을 때는 공통으로 등장하는 변수를 기준으로 삼아 경우를 나누면 복잡한 조건이 단순해집니다. 여기서는 $c$가 가장 좋은 기준이 됩니다.
- 곱의 법칙: 각각의 변수를 선택하는 사건이 서로 독립적일 때, 각 사건의 경우의 수를 곱하여 전체 경우의 수를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 기준이 되는 문자 정하기
주어진 조건을 다시 한번 살펴봅시다.
- $a \le c \le d$
- $b \le c \le d$
이 두 조건에서 공통으로 중심 역할을 하는 문자는 바로 $c$입니다. $a$와 $b$는 모두 $c$보다 작거나 같아야 하고, $d$는 $c$보다 크거나 같아야 합니다.
따라서 $c$의 값을 기준으로 삼아 경우를 나누면 문제를 아주 쉽게 해결할 수 있습니다. $a, b, c, d$는 $6$ 이하의 자연수이므로, $c$가 가질 수 있는 값은 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 중 하나입니다.
2단계: $c$의 값에 따른 $a, b, d$의 선택지 분석하기
$c$의 값이 결정되었을 때, 나머지 문자 $a, b, d$가 가질 수 있는 값의 개수를 구해봅시다.
- **$a$의 선택지:** $a \le c$ 이므로, $a$는 $1$부터 $c$까지의 자연수 중 하나를 선택할 수 있습니다. 즉, 선택할 수 있는 경우의 수는 **$c$개**입니다.
- **$b$의 선택지:** $b \le c$ 이므로, $b$ 역시 $1$부터 $c$까지의 자연수 중 하나를 선택할 수 있습니다. 즉, 선택할 수 있는 경우의 수는 **$c$개**입니다.
- **$d$의 선택지:** $c \le d \le 6$ 이므로, $d$는 $c$부터 $6$까지의 자연수 중 하나를 선택할 수 있습니다. 즉, 선택할 수 있는 경우의 수는 **$7 - c$개**입니다.
따라서 특정한 $c$ 값에 대해 조건을 만족하는 순서쌍 $(a, b, d)$의 개수는 곱의 법칙에 의해 다음과 같습니다:
$$\text{경우의 수} = c \times c \times (7 - c) = c^2(7 - c)$$
3단계: $c$의 값에 따라 직접 계산하기
이제 $c$가 $1$부터 $6$까지 변할 때의 경우의 수를 각각 구해서 더해봅시다.
- **$c = 1$일 때:**
$$1^2 \times (7 - 1) = 1 \times 6 = 6$$
- **$c = 2$일 때:**
$$2^2 \times (7 - 2) = 4 \times 5 = 20$$
- **$c = 3$일 때:**
$$3^2 \times (7 - 3) = 9 \times 4 = 36$$
- **$c = 4$일 때:**
$$4^2 \times (7 - 4) = 16 \times 3 = 48$$
- **$c = 5$일 때:**
$$5^2 \times (7 - 5) = 25 \times 2 = 50$$
- **$c = 6$일 때:**
$$6^2 \times (7 - 6) = 36 \times 1 = 36$$
4단계: 모든 경우의 수 더하기
구한 값들을 모두 더하면 우리가 찾는 전체 순서쌍의 개수가 됩니다.
$$\text{전체 개수} = 6 + 20 + 36 + 48 + 50 + 36$$
차근차근 더해볼까요?
- $6 + 20 = 26$
- $26 + 36 = 62$
- $62 + 48 = 110$
- $110 + 50 = 160$
- $160 + 36 = 196$
따라서 조건을 만족하는 순서쌍의 개수는 총 $196$개입니다.
답
$$196$$
확인해보기
만약 조건이 "$6$ 이하의 자연수"가 아니라 **"$5$ 이하의 자연수"**로 바뀐다면, 조건을 만족하는 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수는 어떻게 변할까요? 위에서 배운 단계를 적용해 스스로 계산해 보세요!