어떤 문제인가
이 문제는 정규분포를 따르는 확률변수 $X$의 확률을 구하기 위해 표준화를 이용하고, 주어진 조건에 맞는 확률의 최댓값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 정규분포의 표준화: 평균이 $\mu$이고 표준편차가 $\sigma$인 정규분포를 따르는 확률변수 $X$를 표준정규분포를 따르는 변수 $Z$로 바꾸는 공식은 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ 입니다.
- 표준정규분포의 대칭성: 표준정규분포 곡선은 $Z=0$을 기준으로 좌우대칭이며, 전체 넓이(확률)는 $1$입니다. 따라서 $Z \le 0$일 확률은 정확히 $0.5$($\frac{1}{2}$)입니다.
- 구간의 넓이와 최댓값: 일정한 길이를 가진 구간에서 확률(넓이)이 최대가 되려면, 구간이 가운데($Z=0$)를 중심으로 가장 균형 있게 위치해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 $\text{P}(X \le 5t) \ge \frac{1}{2}$을 이용하여 $t$의 범위 구하기
확률변수 $X$는 정규분포 $\text{N}(1, t^2)$을 따르므로, 평균은 $1$이고 표준편차는 $t$ (양수)입니다.
이 $X$를 표준화 공식 $Z = \frac{X - 1}{t}$를 이용해 표준정규분포 $Z$로 바꾸어 봅시다.
$$\text{P}(X \le 5t) = \text{P}\left(\frac{X - 1}{t} \le \frac{5t - 1}{t}\right) = \text{P}\left(Z \le 5 - \frac{1}{t}\right)$$
문제에서 이 확률이 $\frac{1}{2}$ 이상이어야 한다고 했습니다.
$$\text{P}\left(Z \le 5 - \frac{1}{t}\right) \ge \frac{1}{2}$$
표준정규분포에서 확률이 $\frac{1}{2}$ 이상이 되려면, 기준이 되는 값이 $0$보다 크거나 같아야 합니다. (즉, $Z$가 $0$ 이하일 확률이 딱 $0.5$이므로, 그보다 넓이가 넓어지려면 기준값이 $0$의 오른쪽에 있어야 합니다.)
따라서 다음과 같은 식을 세울 수 있습니다.
$$5 - \frac{1}{t} \ge 0$$
이 식을 $t$에 대해 정리해 봅시다.
$$5 \ge \frac{1}{t}$$
$t$는 양수이므로 양변에 $t$를 곱하고 $5$로 나누면,
$$t \ge \frac{1}{5} \quad \text{즉,} \quad t \ge 0.2$$
우리는 $t$의 범위가 $t \ge 0.2$라는 아주 중요한 단서를 얻었습니다!
2단계: 구하고자 하는 확률 식 표준화하기
이제 우리가 최댓값을 구해야 하는 확률 식을 표준화해 봅시다.
구하고자 하는 식은 $\text{P}(t^2 - t + 1 \le X \le t^2 + t + 1)$ 입니다.
마찬가지로 각 변에 평균 $1$을 빼고 표준편차 $t$로 나누어 표준화합니다.
- 왼쪽 경계: $\frac{(t^2 - t + 1) - 1}{t} = \frac{t^2 - t}{t} = t - 1$
- 오른쪽 경계: $\frac{(t^2 + t + 1) - 1}{t} = \frac{t^2 + t}{t} = t + 1$
따라서 구하고자 하는 확률은 다음과 같이 간단해집니다.
$$\text{P}(t - 1 \le Z \le t + 1)$$
3단계: 확률이 최대가 되는 $t$ 찾기
우리가 구한 확률 식 $\text{P}(t - 1 \le Z \le t + 1)$에서 구간의 길이를 살펴볼까요?
구간의 길이는 $(t + 1) - (t - 1) = 2$로, $t$의 값에 상관없이 항상 **$2$로 일정**합니다.
길이가 $2$로 일정한 구간에서 표준정규분포의 확률(넓이)이 최대가 되려면, 이 구간이 가운데인 $0$을 기준으로 좌우대칭으로 놓여야 합니다. 즉, 구간의 한가운데 값(평균값)인 $t$가 $0$일 때 확률이 가장 큽니다.
하지만 우리는 1단계에서 **$t \ge 0.2$**라는 조건을 구했습니다.
$t$가 $0$이 될 수 없으므로, $0$에 가장 가까운 값인 **$t = 0.2$**일 때 확률이 최대가 됩니다. (가운데인 $0$에서 멀어질수록 넓이는 점점 줄어들기 때문입니다.)
4단계: 최댓값 $k$ 구하기
$t = 0.2$를 대입하여 최댓값 $k$를 구해봅시다.
$$k = \text{P}(0.2 - 1 \le Z \le 0.2 + 1) = \text{P}(-0.8 \le Z \le 1.2)$$
표준정규분포의 대칭성을 이용하여 이 확률을 나누어 씁니다.
$$\text{P}(-0.8 \le Z \le 1.2) = \text{P}(-0.8 \le Z \le 0) + \text{P}(0 \le Z \le 1.2)$$
$$\text{P}(-0.8 \le Z \le 0) = \text{P}(0 \le Z \le 0.8)$$ 이므로,
$$k = \text{P}(0 \le Z \le 0.8) + \text{P}(0 \le Z \le 1.2)$$
이제 문제에 주어진 표준정규분포표의 값을 대입합니다.
- $\text{P}(0 \le Z \le 0.8) = 0.288$
- $\text{P}(0 \le Z \le 1.2) = 0.385$
$$k = 0.288 + 0.385 = 0.673$$
5단계: 최종 답 계산하기
문제에서 요구한 값은 $1000 \times k$입니다.
$$1000 \times k = 1000 \times 0.673 = 673$$
답
$$673$$
확인해보기
길이가 일정한 구간 $[a, a+2]$에 대하여, 확률 $\text{P}(a \le Z \le a+2)$가 최대가 되도록 하는 $a$의 값은 무엇일까요? (힌트: 구간의 한가운데가 어디에 위치해야 할지 생각해보세요.)