어떤 문제인가
이 문제는 $n$이 무한히 커질 때, 지수에 $n$을 포함하고 있는 수열(등비수열)의 극한값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 등비수열의 극한: 공비 $r$의 절댓값이 $1$보다 작을 때($|r| < 1$), $n$이 무한히 커지면 $r^n$은 $0$으로 수렴합니다. ($\lim_{n \to \infty} r^n = 0$)
- 가장 영향력이 큰 항 찾기: 분수 형태의 극한에서는 분모와 분자에서 가장 빠르게 변하는(영향력이 가장 큰) 항을 기준으로 식을 정리해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 지수 법칙을 이용해 식 정리하기
먼저 분수식의 지수에 있는 $+1$을 분리해서 식을 보기 좋게 정리해 봅시다. 지수법칙 $a^{n+1} = a \cdot a^n$을 이용합니다.
- 분자의 $\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}$은 $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n$으로 쓸 수 있습니다.
- 분모의 $\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$은 $\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$으로 쓸 수 있습니다.
이것을 원래 식에 대입하면 다음과 같이 정리됩니다.
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^n}{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n + \left(\frac{1}{3}\right)^n} $$
2단계: 분모와 분자에서 가장 영향력이 큰 항 찾기
분모와 분자에는 밑이 $\frac{1}{2}$인 항과 $\frac{1}{3}$인 항이 있습니다. $n$이 무한히 커질 때, 두 값 모두 $0$으로 수렴하지만 감소하는 속도가 다릅니다.
$\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$이므로, $\left(\frac{1}{3}\right)^n$이 $\left(\frac{1}{2}\right)^n$보다 훨씬 더 빠르게 $0$에 가까워집니다. 즉, 상대적으로 더 천천히 작아져서 끝까지 살아남는 **영향력이 더 큰 항은 $\left(\frac{1}{2}\right)^n$**입니다.
따라서, 분모와 분자를 가장 영향력이 큰 항인 $\left(\frac{1}{2}\right)^n$으로 나누어 줍니다.
3단계: 분모, 분자를 $\left(\frac{1}{2}\right)^n$으로 나누고 극한값 구하기
분모와 분자의 모든 항을 $\left(\frac{1}{2}\right)^n$으로 나누어 봅시다.
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{\left(\frac{1}{2}\right)^n} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^n}{\left(\frac{1}{2}\right)^n}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{\left(\frac{1}{2}\right)^n} + \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^n}{\left(\frac{1}{2}\right)^n}} $$
식을 단순화하면 다음과 같습니다. (이때 $\frac{(1/3)^n}{(1/2)^n} = \left(\frac{2}{3}\right)^n$이 됩니다.)
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^n}{\frac{1}{2} + \left(\frac{2}{3}\right)^n} $$
여기서 $\frac{2}{3}$는 $1$보다 작으므로, $n \to \infty$일 때 $\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$이 됩니다.
이제 극한값을 계산해 봅시다.
$$ \frac{1 + \frac{1}{3} \cdot 0}{\frac{1}{2} + 0} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 $$
답
② 2
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 확인해 볼까요? 다음 극한값은 얼마일지 스스로 풀어보세요. (이번에는 밑이 $1$보다 큰 경우입니다. 어떤 항이 가장 영향력이 클지 생각해 보세요!)
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{3^n + 2^{n+1}}{3^{n+1} + 2^n} $$