어떤 문제인가
이 문제는 주어진 곡선 위의 한 점에서의 접선의 기울기를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 접선의 기울기: 곡선 위의 점 $(x, y)$에서 접선의 기울기는 미분계수 $\frac{dy}{dx}$의 값과 같습니다.
- 음함수의 미분법: 주어진 식처럼 $x$와 $y$가 섞여 있는 식에서 $\frac{dy}{dx}$를 구하기 위해, $y$를 $x$에 대한 함수로 생각하고 양변을 $x$에 대해 미분합니다.
- 합성함수와 곱의 미분법: $x \sin 2y$를 미분할 때, 두 함수의 곱의 미분법과 $\sin 2y$를 미분할 때의 합성함수 미분법(체인 룰)을 적용해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 양변을 $x$에 대해 미분하기
주어진 곡선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$x \sin 2y + 3x = 3$$
이 식의 양변을 $x$에 대해 미분해 봅시다. 이때 $y$는 $x$에 대한 함수이므로, $y$가 포함된 항을 미분할 때는 $\frac{dy}{dx}$를 곱해주어야 합니다.
- **첫 번째 항 $x \sin 2y$ 미분하기 (곱의 미분법 적용):**
$$(x)' \cdot \sin 2y + x \cdot (\sin 2y)'$$
$$\sin 2y + x \cdot \left( \cos 2y \cdot \frac{d}{dx}(2y) \right)$$
$$\sin 2y + x \cdot \left( \cos 2y \cdot 2\frac{dy}{dx} \right)$$
$$\sin 2y + 2x \cos 2y \frac{dy}{dx}$$
- **두 번째 항 $3x$ 미분하기:**
$$3$$
- **우변의 상수 $3$ 미분하기:**
$$0$$
이제 미분한 식들을 모두 합쳐서 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$\sin 2y + 2x \cos 2y \frac{dy}{dx} + 3 = 0$$
2단계: 주어진 점의 좌표 대입하기
우리가 구하고자 하는 것은 점 $\left(1, \frac{\pi}{2}\right)$에서의 접선의 기울기 $\frac{dy}{dx}$입니다.
따라서 위에서 구한 식에 $x = 1$, $y = \frac{\pi}{2}$를 대입합니다.
먼저 삼각함수 값들을 계산해 볼까요?
- $2y = 2 \times \frac{\pi}{2} = \pi$ 이므로,
- $\sin 2y = \sin \pi = 0$
- $\cos 2y = \cos \pi = -1$
이 값들을 미분한 식에 대입해 봅시다.
$$0 + 2(1)(-1)\frac{dy}{dx} + 3 = 0$$
3단계: 접선의 기울기 $\frac{dy}{dx}$ 구하기
위의 식을 정리하여 $\frac{dy}{dx}$를 구합니다.
$$-2\frac{dy}{dx} + 3 = 0$$
$$2\frac{dy}{dx} = 3$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}$$
따라서 점 $\left(1, \frac{\pi}{2}\right)$에서의 접선의 기울기는 $\frac{3}{2}$입니다.
답
**③ $\frac{3}{2}$**
확인해보기
음함수의 미분법을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: $y$가 $x$에 대한 함수일 때, 식 $y^3$을 $x$에 대해 미분하면 어떻게 될까요? (힌트: 합성함수의 미분법을 떠올려 보세요.)