어떤 문제인가
이 문제는 무한히 많은 항을 더하는 급수의 수렴 성질과 수열의 극한을 결합한 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 급수의 수렴과 극한의 관계: 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$이 수렴하면, 일반항의 극한값은 항상 $0$입니다. 즉, $\lim_{n\to\infty} x_n = 0$입니다. (아무리 많이 더해도 합이 일정하려면, 뒤로 갈수록 더해지는 값들이 $0$에 가까워져야 하니까요!)
- **무한대 분의 무한대($\frac{\infty}{\infty}$) 꼴의 극한**: 분모와 분자의 최고차항의 계수를 비교하여 극한값을 구합니다.
- 극한의 기본 성질: 수렴하는 두 수열에 대해서는 더하고, 빼고, 곱하고, 나누는(분모가 0이 아닐 때) 연산을 자유롭게 할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 급수의 수렴 성질을 이용하여 식 세우기
문제에서 주어진 급수를 다시 한번 볼게요.
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n - \frac{3n^2-n}{2n^2+1} \right) = 2$$
이 급수의 합이 $2$라는 것은 급수가 수렴한다는 뜻입니다.
급수가 수렴하면 안쪽에 있는 일반항의 극한값은 반드시 $0$이 되어야 합니다. 따라서 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$\lim_{n\to\infty} \left( a_n - \frac{3n^2-n}{2n^2+1} \right) = 0$$
2단계: 빼지는 부분의 극한값 구하기
이제 괄호 안의 오른쪽 부분인 $\frac{3n^2-n}{2n^2+1}$의 극한값을 구해봅시다.
$n$이 무한대로 갈 때, 분모와 분자 모두 무한대로 가는 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴입니다. 분모의 최고차항인 $n^2$으로 분모와 분자를 각각 나누어 줍니다.
$$\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2-n}{2n^2+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{3 - \frac{1}{n}}{2 + \frac{1}{n^2}}$$
$n \to \infty$일 때 $\frac{1}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^2} \to 0$이므로, 극한값은 다음과 같습니다.
$$\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2-n}{2n^2+1} = \frac{3 - 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}$$
3단계: 수열 $\{a_n\}$의 극한값 구하기
1단계에서 구한 식과 2단계에서 구한 극한값을 연결해 봅시다.
$$\lim_{n\to\infty} \left( a_n - \frac{3n^2-n}{2n^2+1} \right) = 0$$
이 식에서 두 수열이 각각 수렴하므로 극한의 성질에 의해 다음과 같이 분리해서 쓸 수 있습니다.
$$\lim_{n\to\infty} a_n - \lim_{n\to\infty} \frac{3n^2-n}{2n^2+1} = 0$$
여기에 2단계에서 구한 값 $\frac{3}{2}$을 대입하면,
$$\lim_{n\to\infty} a_n - \frac{3}{2} = 0$$
따라서 수열 $\{a_n\}$의 극한값은 다음과 같습니다.
$$\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{3}{2}$$
4단계: 최종 구하고자 하는 식의 값 계산하기
우리가 구해야 하는 값은 $\lim_{n\to\infty} (a_n^2 + 2a_n)$입니다.
수열 $\{a_n\}$이 $\frac{3}{2}$으로 수렴하므로, 극한의 성질을 이용해 대입하여 계산할 수 있습니다.
$$\lim_{n\to\infty} (a_n^2 + 2a_n) = \left( \lim_{n\to\infty} a_n \right)^2 + 2 \left( \lim_{n\to\infty} a_n \right)$$
$$\lim_{n\to\infty} (a_n^2 + 2a_n) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2 \times \frac{3}{2}$$
$$= \frac{9}{4} + 3$$
$$= \frac{9}{4} + \frac{12}{4} = \frac{21}{4}$$
답
**③ $\frac{21}{4}$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} (b_n - 5) = 2024$가 수렴할 때, 수열 $\{b_n\}$의 극한값 $\lim_{n\to\infty} b_n$은 얼마일까요? (급수의 합이 $2024$라는 숫자인 것에 현혹되지 말고, '수렴한다'는 사실에 집중해 보세요!)