어떤 문제인가
이 문제는 주어진 곡선과 두 직선이 만나는 점을 이용해 삼각형의 넓이 $S(t)$를 $t$에 대한 식으로 나타내고, 그 식의 극한값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 지수함수와 로그함수의 관계: $y = e^{x^2}-1$ 식을 $x$에 대해 정리하여 교점의 좌표를 구합니다.
- 삼각형의 넓이: 좌표평면 위에서 세 점의 위치를 파악하고, 밑변과 높이를 찾아 넓이 식을 세웁니다.
- 로그함수의 극한: 극한값 계산을 위해 가장 중요한 공식인 $\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 곡선 위의 점의 $x$좌표를 $y$로 나타내기
두 점 $\text{A}$와 $\text{B}$는 곡선 $y = e^{x^2}-1$ 위의 점입니다. 이 점들의 $x$좌표를 구하기 위해, 주어진 식을 $x$에 대해 정리해 봅시다.
$$y = e^{x^2} - 1$$
양변에 $1$을 더하면,
$$y + 1 = e^{x^2}$$
양변에 자연로그($\ln$)를 취하면,
$$\ln(y+1) = x^2$$
문제에서 $x \ge 0$이라고 했으므로, 양의 제곱근을 취합니다.
$$x = \sqrt{\ln(y+1)}$$
이 식을 이용하면 $y$좌표가 주어졌을 때의 $x$좌표를 쉽게 구할 수 있습니다.
2단계: 세 점 $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$의 좌표 구하기
이제 문제에서 제시된 조건에 따라 각 점의 좌표를 $t$로 나타내어 봅시다.
- **점 $\text{A}$**: 곡선과 직선 $y=t$가 만나는 점이므로, $y$좌표는 $t$입니다.
$$\text{A} = \left( \sqrt{\ln(t+1)}, \; t \right)$$
- **점 $\text{B}$**: 곡선과 직선 $y=5t$가 만나는 점이므로, $y$좌표는 $5t$입니다.
$$\text{B} = \left( \sqrt{\ln(5t+1)}, \; 5t \right)$$
- **점 $\text{C}$**: 점 $\text{B}$에서 $x$축에 내린 수선의 발이므로, $y$좌표는 $0$이고 $x$좌표는 점 $\text{B}$와 같습니다.
$$\text{C} = \left( \sqrt{\ln(5t+1)}, \; 0 \right)$$
3단계: 삼각형 $\text{ABC}$의 넓이 $S(t)$ 구하기
삼각형 $\text{ABC}$의 넓이를 구하기 위해 밑변과 높이를 정해 봅시다.
- 밑변: 선분 $\text{BC}$로 잡으면 편리합니다. 점 $\text{B}$와 점 $\text{C}$는 $x$좌표가 같고 $y$축에 평행한 수직선 위에 있으므로, 길이는 두 점의 $y$좌표의 차이입니다.
$$\text{밑변} = 5t - 0 = 5t$$
- 높이: 점 $\text{A}$에서 선분 $\text{BC}$에 내린 수선의 길이입니다. 이는 두 점의 $x$좌표의 차이와 같습니다. ($t > 0$이므로 $x_{\text{B}} > x_{\text{A}}$입니다.)
$$\text{높이} = \sqrt{\ln(5t+1)} - \sqrt{\ln(t+1)}$$
따라서 삼각형의 넓이 $S(t)$는 다음과 같습니다.
$$S(t) = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} = \frac{1}{2} \times 5t \times \left( \sqrt{\ln(5t+1)} - \sqrt{\ln(t+1)} \right)$$
4단계: 극한값 $\lim_{t\to 0+} \frac{S(t)}{t\sqrt{t}}$ 계산하기
이제 구한 $S(t)$를 극한 식에 대입하여 계산해 봅시다.
$$\lim_{t\to 0+} \frac{S(t)}{t\sqrt{t}} = \lim_{t\to 0+} \frac{\frac{5}{2}t \left( \sqrt{\ln(5t+1)} - \sqrt{\ln(t+1)} \right)}{t\sqrt{t}}$$
분모와 분자의 $t$를 약분하면 다음과 같이 정리됩니다.
$$= \lim_{t\to 0+} \frac{5}{2} \cdot \frac{\sqrt{\ln(5t+1)} - \sqrt{\ln(t+1)}}{\sqrt{t}}$$
분모의 $\sqrt{t}$를 각각의 루트 안으로 넣어 나누어 줍니다.
$$= \frac{5}{2} \lim_{t\to 0+} \left( \sqrt{\frac{\ln(5t+1)}{t}} - \sqrt{\frac{\ln(t+1)}{t}} \right)$$
여기서 로그함수의 극한 공식 $\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$을 적용해 봅시다.
- 첫 번째 항: 분모와 분자의 형태를 맞춰주기 위해 분모에 $5$를 곱하고 앞에 $5$를 곱합니다.
$$\lim_{t\to 0+} \frac{\ln(5t+1)}{t} = \lim_{t\to 0+} 5 \times \frac{\ln(5t+1)}{5t} = 5 \times 1 = 5$$
- 두 번째 항:
$$\lim_{t\to 0+} \frac{\ln(t+1)}{t} = 1$$
이 결과를 극한 식에 대입하면,
$$= \frac{5}{2} \left( \sqrt{5} - \sqrt{1} \right) = \frac{5}{2}(\sqrt{5}-1)$$
답
정답은 ②번인 $\frac{5}{2}(\sqrt{5}-1)$ 입니다.
확인해보기
만약 문제에서 직선 $y=5t$ 대신 **$y=4t$**가 주어졌다면, $\lim_{t\to 0+} \frac{S(t)}{t\sqrt{t}}$의 값은 어떻게 변할지 스스로 계산해 보세요!