어떤 문제인가
이 문제는 지수함수 위의 한 점에서 접선과 수직인 직선(법선)을 구하고, 그 직선이 축과 만나는 점들을 이용해 선분의 길이의 비를 구하는 문제입니다. 그리고 그 비율이 특정 조건에서 최대가 되도록 하는 미지수 $a$의 값을 찾는 것이 목표입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 지수함수의 미분: 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기를 구하기 위해 필요합니다.
- 수직인 두 직선의 기울기 관계: 두 직선이 서로 수직이면 기울기의 곱은 $-1$이 됩니다.
- 닮음을 이용한 선분 길이의 비 단순화: 복잡한 점과 점 사이의 거리 공식 대신, 닮음(또는 사영)을 이용해 $x$좌표나 $y$좌표의 차이만으로 길이의 비를 쉽게 구하는 기하학적 직관이 필요합니다.
- 함수의 극대와 극소: 비율을 나타내는 함수가 최대가 되는 지점을 찾기 위해 미분을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 점 $\mathrm{A}$에서의 접선 $l$에 수직인 직선의 방정식 구하기
먼저 점 $\mathrm{A}(t, a^t)$를 지나고 접선 $l$에 수직인 직선의 방정식을 구해야 합니다. 이 직선의 기울기를 알기 위해, 먼저 접선 $l$의 기울기를 구해봅시다.
곡선의 방정식이 $y = a^x$이므로, 이를 $x$에 대해 미분하면 다음과 같습니다.
$$y' = a^x \ln a$$
따라서 점 $\mathrm{A}(t, a^t)$에서의 접선 $l$의 기울기 $m_1$은 다음과 같습니다.
$$m_1 = a^t \ln a$$
우리가 구하고자 하는 직선은 $l$과 수직이므로, 이 직선의 기울기를 $m_2$라고 하면 $m_1 \cdot m_2 = -1$이 성립해야 합니다.
$$m_2 = -\frac{1}{a^t \ln a}$$
이 직선은 점 $\mathrm{A}(t, a^t)$를 지나므로, 직선의 방정식은 다음과 같이 세울 수 있습니다.
$$y - a^t = -\frac{1}{a^t \ln a} (x - t)$$
2단계: 점 $\mathrm{B}$와 점 $\mathrm{C}$의 좌표 구하기
이제 이 직선이 $x$축과 만나는 점 $\mathrm{B}$와 $y$축과 만나는 점 $\mathrm{C}$의 좌표를 구해보겠습니다.
- **점 $\mathrm{B}$ ($x$축과의 교점, 즉 $y=0$일 때)**
$$0 - a^t = -\frac{1}{a^t \ln a} (x - t)$$
양변에 $-a^t \ln a$를 곱하면,
$$a^{2t} \ln a = x - t \implies x = t + a^{2t} \ln a$$
따라서 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\mathrm{B}(t + a^{2t} \ln a, 0)$$
- **점 $\mathrm{C}$ ($y$축과의 교점, 즉 $x=0$일 때)**
$$y - a^t = -\frac{1}{a^t \ln a} (0 - t)$$
$$y = a^t + \frac{t}{a^t \ln a}$$
따라서 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\mathrm{C}\left(0, a^t + \frac{t}{a^t \ln a}\right)$$
3단계: 선분의 길이의 비 $\frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\overline{\mathrm{AB}}}$ 구하기
점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$의 좌표를 모두 알았으니 선분의 길이를 구해야 합니다. 하지만 점과 점 사이의 거리 공식을 그대로 쓰면 식이 매우 복잡해집니다.
여기서 아주 유용한 수학적 팁이 있습니다! 세 점 $\mathrm{C}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$는 모두 한 직선 위에 있습니다. 따라서 **선분의 길이의 비는 세 점의 $x$좌표 차이의 비와 같습니다.** (닮음비를 생각하면 쉽습니다.)
- 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표: $x_C = 0$
- 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표: $x_A = t$
- 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표: $x_B = t + a^{2t} \ln a$
$t > 0$이고 $a > 1$이므로 $x_C < x_A < x_B$ 순서로 좌표가 위치합니다. 따라서 길이의 비는 다음과 같이 간단하게 정리됩니다.
$$\frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\overline{\mathrm{AB}}} = \frac{x_A - x_C}{x_B - x_A} = \frac{t - 0}{(t + a^{2t} \ln a) - t} = \frac{t}{a^{2t} \ln a}$$
복잡한 루트 계산 없이 아주 깔끔한 식을 얻었습니다!
4단계: 비율이 최대가 되는 조건 찾기 (미분 이용)
이제 이 비율을 $t$에 대한 함수 $f(t)$로 정의합시다.
$$f(t) = \frac{t}{a^{2t} \ln a} = \frac{1}{\ln a} \cdot t \cdot a^{-2t}$$
이 함수가 최대가 되는 지점을 찾기 위해 $t$에 대해 미분해 보겠습니다. (곱의 미분법을 사용합니다.)
$$f'(t) = \frac{1}{\ln a} \left[ 1 \cdot a^{-2t} + t \cdot \left( a^{-2t} \ln a \cdot (-2) \right) \right]$$
$$f'(t) = \frac{a^{-2t}}{\ln a} [1 - 2t \ln a]$$
함수 $f(t)$가 극대(이자 최대)가 되려면 $f'(t) = 0$이어야 합니다. $a > 1$이므로 $\frac{a^{-2t}}{\ln a} > 0$입니다. 따라서 다음이 성립해야 합니다.
$$1 - 2t \ln a = 0 \implies t = \frac{1}{2 \ln a}$$
5단계: $a$의 값 구하기
문제에서 이 비율이 **$t=1$에서 최대**라고 했습니다. 즉, 최대가 되는 $t$의 값이 $1$이라는 뜻입니다.
$$1 = \frac{1}{2 \ln a}$$
$$2 \ln a = 1 \implies \ln a = \frac{1}{2}$$
로그의 정의에 의해,
$$a = e^{1/2} = \sqrt{e}$$
답
**② $\sqrt{e}$**
확인해보기
세 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$가 한 직선 위에 있을 때, 복잡한 거리 공식 대신 $x$좌표의 차이만을 이용하여 선분의 길이의 비 $\frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\overline{\mathrm{AB}}} = \frac{|x_A - x_C|}{|x_B - x_A|}$로 계산할 수 있었던 기하학적 이유(도형의 성질)는 무엇일까요? 스스로 생각해보세요!