어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건에 따라 정의된 함수 $f(x)$의 그래프를 그리고, 새로운 함수 $g(t)$의 의미를 파악하여 미분계수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 함수의 그래프 그리기와 극대·극소: 도함수를 이용해 $f(x)$의 증가와 감소를 파악하고 그래프의 개형을 그립니다.
- 합성함수와 역함수의 미분: $f(x)=t$를 만족하는 최솟값 $g(t)$가 결국 $f(x)$의 특정 구간에서의 역함수 역할을 함을 이해하고, 역함수의 미분법을 적용합니다.
- 함수의 연속성: 그래프를 통해 $g(t)$가 불연속이 되는 지점을 찾아 상수의 값을 결정합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $f(x)$의 그래프 개형 파악하기
먼저 $f(x)$가 어떻게 그려지는지 알아야 $g(t)$의 의미를 이해할 수 있습니다. $f(x)$는 $x=a$를 경계로 두 부분으로 나뉩니다.
**경계선 $x=a$에서의 연속성 확인**
- 좌극한: $\lim_{x \to a^-} f(x) = e^{2a}(a-a) + 4e^a = 4e^a$
- 우극한 및 함숫값: $f(a) = (a-a-2)^2 e^a = 4e^a$
두 값이 같으므로 $f(x)$는 $x=a$에서 연속입니다.
구간별 그래프 분석
- **$x < a$ 일 때 (직선)**
$$f(x) = e^{2a}(x-a) + 4e^a$$
기울기가 $e^{2a} > 0$인 오른쪽 위로 올라가는 직선입니다. $x \to -\infty$일 때 $f(x) \to -\infty$입니다.
- **$x \ge a$ 일 때 (곡선)**
$$f(x) = (x-a-2)^2 e^x$$
이 곡선의 증가와 감소를 알기 위해 미분을 해봅시다. 곱의 미분법을 사용합니다.
$$f'(x) = 2(x-a-2)e^x + (x-a-2)^2 e^x = (x-a-2)(x-a)e^x$$
$x \ge a$인 범위에서 $f'(x) = 0$이 되는 $x$는 $x=a$와 $x=a+2$입니다.
* $a < x < a+2$ 일 때: $f'(x) < 0$ (감소)
* $x > a+2$ 일 때: $f'(x) > 0$ (증가)
따라서 $f(x)$는 $x=a$에서 극대값 $4e^a$를 갖고, $x=a+2$에서 극소값 $f(a+2) = 0$을 가집니다.
2단계: $g(t)$의 정의와 불연속점 찾기
$g(t)$는 $f(x)=t$를 만족하는 $x$의 최솟값입니다. 이는 그래프에서 가로선 $y=t$를 그었을 때, $f(x)$의 그래프와 만나는 교점 중 **가장 왼쪽에 있는 점의 $x$좌표**를 의미합니다.
$t$의 값을 아래에서부터 위로 올리며 교점의 $x$좌표(가장 왼쪽)가 어떻게 변하는지 살펴봅시다.
- **$t < 4e^a$ 일 때**
가로선 $y=t$는 $x < a$ 영역의 직선과 항상 만납니다. 이 교점이 가장 왼쪽 교점이므로, $g(t)$는 직선 $f(x)=t$의 해가 됩니다. $t$가 커짐에 따라 $g(t)$도 연속적으로 증가합니다.
- **$t = 4e^a$ 일 때**
교점은 $x=a$와 $x > a+2$인 어떤 지점 두 곳에서 생깁니다. 이 중 최솟값은 $g(t) = a$입니다.
- **$t > 4e^a$ 일 때**
이제 가로선 $y=t$는 직선($x<a$) 영역이나 감소하는 곡선($a \le x \le a+2$) 영역과 만나지 못합니다. 오직 $x > a+2$인 증가하는 곡선 영역하고만 만납니다.
따라서 $g(t)$는 $x > a+2$ 영역에서의 교점의 $x$좌표가 됩니다.
불연속점의 발생
- $t$가 $4e^a$보다 아주 조금 작을 때($t \to 4e^a-0$), $g(t)$는 $a$에 가까워집니다.
- 하지만 $t$가 $4e^a$보다 아주 조금 클 때($t \to 4e^a+0$), $g(t)$는 $a+2$보다 큰 어떤 값으로 갑자기 점프하게 됩니다.
따라서 $g(t)$는 $t = 4e^a$에서 불연속입니다.
문제에서 $g(t)$가 $t=12$에서만 불연속이라고 했으므로, 다음 식을 얻을 수 있습니다.
$$4e^a = 12 \implies e^a = 3$$
3단계: 구하고자 하는 값 계산하기
우리가 구해야 하는 값은 $\frac{g'(f(a+2))}{g'(f(a+6))}$ 입니다. 각각의 분모와 분자를 구해봅시다.
① 분자: $g'(f(a+2))$ 구하기
먼저 $f(a+2)$의 값을 구합니다. $a+2 \ge a$이므로 곡선 식에 대입합니다.
$$f(a+2) = (a+2-a-2)^2 e^{a+2} = 0$$
즉, 우리는 $g'(0)$을 구해야 합니다.
$t=0$은 $t < 12$ 범위에 있으므로, 이 영역에서 $g(t)$는 $x < a$인 직선 $f_1(x) = e^{2a}(x-a) + 4e^a$의 역함수입니다.
역함수의 미분법에 의해:
$$g'(t) = \frac{1}{f_1'(g(t))}$$
직선 $f_1(x)$의 미분(기울기)은 항상 $e^{2a}$이므로,
$$g'(0) = \frac{1}{e^{2a}} = e^{-2a}$$
② 분모: $g'(f(a+6))$ 구하기
먼저 $f(a+6)$의 값을 구합니다. $a+6 \ge a$이므로 곡선 식에 대입합니다.
$$f(a+6) = (a+6-a-2)^2 e^{a+6} = 16e^{a+6}$$
이 값은 $12$보다 훨씬 크므로, 이 영역에서 $g(t)$는 $x > a+2$인 곡선 $f_2(x) = (x-a-2)^2 e^x$의 역함수입니다.
역함수의 미분법에 의해:
$$g'(f(a+6)) = \frac{1}{f_2'(a+6)}$$
앞서 구한 $f_2'(x) = (x-a-2)(x-a)e^x$에 $x = a+6$을 대입합니다.
$$f_2'(a+6) = (a+6-a-2)(a+6-a)e^{a+6} = 4 \cdot 6 \cdot e^{a+6} = 24e^{a+6}$$
따라서,
$$g'(f(a+6)) = \frac{1}{24e^{a+6}}$$
③ 최종 비율 계산
이제 두 값을 나누어 줍니다.
$$\frac{g'(f(a+2))}{g'(f(a+6))} = \frac{e^{-2a}}{\frac{1}{24e^{a+6}}} = 24 e^{-2a} \cdot e^{a+6} = 24 e^{6-a}$$
우리가 2단계에서 구한 $e^a = 3$ (즉, $e^{-a} = \frac{1}{3}$)을 대입합니다.
$$24 e^{6-a} = 24 e^6 \cdot e^{-a} = 24 e^6 \cdot \frac{1}{3} = 8e^6$$
답
**④ $8e^6$**
확인해보기
$t$의 값이 $0$에서 $12$ 직전까지 증가할 때, $g(t)$의 값은 $x < a$ 영역의 직선 위에서만 움직입니다. 그렇다면 **$t$가 $0$에서 $12$ 직전까지 변하는 동안 $g(t)$가 연속인 이유**를 그래프의 교점의 움직임과 연관 지어 스스로 설명해 보세요.