어떤 문제인가
이 문제는 구간에 따라 다르게 정의된 함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 조건을 이용하여 미지수 $a, b, c$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 함수의 미분가능성: 어떤 함수가 특정 지점에서 미분가능하려면, 그 지점에서 연속이어야 하고 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 합니다.
- 도함수의 성질과 부호: 도함수 $f'(x)$의 식을 정리하여 그 값이 항상 어떤 부호를 갖는지 파악하는 것이 중요합니다.
단계별 풀이
1단계: 미분가능할 조건 세우기
함수 $g(x)$는 $x=b$를 기준으로 식이 나뉩니다. $f(x)$는 실수 전체에서 미분가능한 함수이므로, $g(x)$가 실수 전체에서 미분가능하려면 경계점인 $x=b$에서 미분가능하면 됩니다.
따라서 $x=b$에서 다음 두 가지 조건을 만족해야 합니다.
**조건 ①: $x=b$에서 연속이어야 한다.**
$$f(b) = -f(b-c)$$
**조건 ②: $x=b$에서 미분계수가 존재해야 한다 (좌우 미분계수가 같다).**
$$f'(b) = -f'(b-c)$$
이 두 식을 머릿속에 기억해 두고, 우선 $f(x)$를 미분해 봅시다.
2단계: $f(x)$ 미분하고 도함수 분석하기
$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + \ln(1+x^2) + a$를 $x$에 대해 미분해 봅시다. 합성함수의 미분법을 사용합니다.
$$f'(x) = x^2 - 2x + \frac{2x}{1+x^2}$$
이 식을 통분해서 보기 좋게 정리해 볼까요?
$$f'(x) = \frac{(x^2 - 2x)(1+x^2) + 2x}{1+x^2}$$
$$f'(x) = \frac{x^2 - 2x + x^4 - 2x^3 + 2x}{1+x^2}$$
$$f'(x) = \frac{x^4 - 2x^3 + x^2}{1+x^2}$$
분자를 인수분해하면 아주 예쁜 모양이 나옵니다!
$$f'(x) = \frac{x^2(x-1)^2}{1+x^2}$$
여기서 아주 중요한 사실을 발견할 수 있습니다.
실수의 제곱은 항상 $0$ 이상이고, 분모인 $1+x^2$은 항상 양수이므로, 모든 실수 $x$에 대하여 **$f'(x) \ge 0$**입니다.
즉, $f'(x)$는 절대 음수가 될 수 없습니다.
3단계: 양수 $b, c$의 값 구하기
이제 1단계에서 구한 조건 ②를 다시 봅시다.
$$f'(b) = -f'(b-c)$$
그런데 방금 우리는 모든 실수 $x$에 대해 $f'(x) \ge 0$임을 알았습니다.
따라서 좌변인 $f'(b)$는 $0$ 이상이어야 하고, 우변인 $-f'(b-c)$는 $0$ 이하이어야 합니다.
$$f'(b) \ge 0 \quad \text{이면서} \quad -f'(b-c) \le 0$$
이 두 값이 서로 같아지려면, 오직 두 값이 모두 **$0$**이 되는 방법밖에 없습니다!
$$f'(b) = 0 \quad \text{이고} \quad f'(b-c) = 0$$
$f'(x) = \frac{x^2(x-1)^2}{1+x^2} = 0$이 되는 $x$의 값은 $x=0$ 또는 $x=1$뿐입니다.
문제에서 $b, c$는 양수라고 했습니다.
- $b > 0$이므로, $b$가 될 수 있는 값은 **$b = 1$**뿐입니다. (만약 $b=0$이면 양수라는 조건에 어긋납니다.)
- $b=1$이므로 $b-c = 1-c$입니다. $c > 0$이므로 $1-c < 1$입니다.
- $f'(1-c) = 0$이어야 하므로 $1-c$는 $0$ 또는 $1$이어야 하는데, $1-c < 1$이므로 **$1-c = 0$**이 되어야 합니다.
- 따라서 **$c = 1$**입니다.
이렇게 해서 아주 깔끔하게 $b=1, c=1$을 구했습니다!
4단계: 상수 $a$의 값 구하기
이제 1단계의 조건 ①을 이용해 $a$를 구해봅시다.
$$f(b) = -f(b-c) \implies f(1) = -f(0)$$
$f(1)$과 $f(0)$을 직접 계산해 봅시다.
$$f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 + \ln(1+1^2) + a = -\frac{2}{3} + \ln 2 + a$$
$$f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 + \ln(1+0) + a = a$$
이 두 값을 식에 대입하면:
$$-\frac{2}{3} + \ln 2 + a = -a$$
$$2a = \frac{2}{3} - \ln 2$$
$$a = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\ln 2$$
5단계: 최종 값 계산하기
우리가 구한 $a, b, c$를 모두 더해봅시다.
$$a+b+c = \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\ln 2\right) + 1 + 1 = \frac{7}{3} - \frac{1}{2}\ln 2$$
문제에서 $a+b+c = p + q\ln 2$라고 했으므로, 비교해 보면:
$$p = \frac{7}{3}, \quad q = -\frac{1}{2}$$
우리가 구해야 하는 값은 $30(p+q)$입니다.
$$30(p+q) = 30 \left( \frac{7}{3} - \frac{1}{2} \right) = 30 \left( \frac{14 - 3}{6} \right) = 30 \times \frac{11}{6} = 55$$
답
$$55$$
확인해보기
이 문제를 풀 때 가장 결정적인 열쇠는 **"모든 실수 $x$에 대해 $f'(x) \ge 0$이므로, $f'(b) = -f'(b-c)$가 성립하려면 두 값이 모두 $0$이 될 수밖에 없다"**는 논리였습니다.
그렇다면, 만약 어떤 함수 $h(x)$가 모든 실수 $x$에 대해 항상 **$h'(x) \le 0$** (즉, $0$ 이하)이고, 어떤 두 실수 $d, e$에 대해 $h'(d) = -h'(e)$가 성립한다고 합니다. 이때 $h'(d)$와 $h'(e)$의 값은 각각 무엇이 되어야 할까요? 스스로 생각해 보세요!