안녕하세요! 수학과 물리를 가르치는 선생님입니다.
오늘 함께 풀어볼 문제는 자연과학과 공학에서 자주 쓰이는 '초월함수 방정식의 근사적 해석'에 관한 문제입니다. $y = \frac{\sqrt{x}}{10}$라는 무리함수와 $y = \tan x$라는 삼각함수의 교점을 직접 구하는 것은 불가능합니다. 하지만 $n$이 무한히 커질 때(즉, $x$가 매우 커질 때)의 규칙성을 찾아내면 극한값을 아주 멋지게 해결할 수 있습니다.
천천히 한 단계씩 알아가 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 두 함수의 교점 $a_n$이 $n$이 커짐에 따라 어떤 특정한 값에 가까워지는지 분석하고, 이를 이용해 복잡해 보이는 극한값을 구하는 문제입니다.
문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 삼각함수 그래프의 주기성과 점근선: $\tan x$ 그래프의 특징을 이해하고 교점의 대략적인 위치를 파악합니다.
- 삼각함수의 극한과 근사: $\theta \to 0$일 때, $\tan \theta \approx \theta$라는 강력한 근사 도구를 사용합니다.
- 도함수를 이용한 차이 근사: $n$이 매우 클 때 두 항의 차이($\phi_n - \phi_{n+1}$)를 미분을 이용해 근사합니다.
단계별 풀이
1단계: 교점 $a_n$의 위치 파악하고 식으로 나타내기
먼저 두 함수의 교점의 위치를 시각적으로 상상해 봅시다.
$y = \tan x$는 주기가 $\pi$인 주기함수이며, $x = (n - \frac{1}{2})\pi$에서 점근선을 가집니다.
반면, $y = \frac{\sqrt{x}}{10}$는 $x$가 커짐에 따라 완만하게 계속 증가하는 함수입니다.
$x > 0$ 영역에서 두 그래프의 교점 $a_n$은 $\tan x > 0$인 구간, 즉 각 주기 내의 오른쪽 절반 구간에 존재하게 됩니다.
$$a_n \in \left( (n-1)\pi, (n-1)\pi + \frac{\pi}{2} \right)$$
여기서 중요한 직관이 필요합니다. $n$이 무한히 커지면 $\frac{\sqrt{a_n}}{10}$의 값도 무한히 커집니다. 즉, 교점에서의 탄젠트 값인 $\tan a_n$이 무한히 커져야 하므로, 교점 $a_n$은 점근선인 $(n - \frac{1}{2})\pi$에 아주 가까워집니다.
따라서, 점근선과의 차이를 아주 작은 양수 $\phi_n$이라 두고 $a_n$을 다음과 같이 표현해 봅시다.
$$a_n = \left(n - \frac{1}{2}\right)\pi - \phi_n \quad (\text{단, } \lim_{n \to \infty} \phi_n = 0)$$
2단계: $\phi_n$에 대한 근사식 구하기
이제 교점의 정의($\tan a_n = \frac{\sqrt{a_n}}{10}$)에 위에서 정의한 식을 대입해 봅시다.
$$\tan a_n = \tan\left( n\pi - \frac{\pi}{2} - \phi_n \right) = -\tan\left(\frac{\pi}{2} + \phi_n\right) = \cot \phi_n = \frac{1}{\tan \phi_n}$$
이 값이 $\frac{\sqrt{a_n}}{10}$과 같아야 하므로,
$$\frac{1}{\tan \phi_n} = \frac{\sqrt{a_n}}{10} \implies \tan \phi_n = \frac{10}{\sqrt{a_n}}$$
$n \to \infty$일 때 $\phi_n \to 0$이므로, 삼각함수의 극한 성질($\tan \theta \approx \theta$)을 적용하면 다음과 같은 아주 유용한 근사식을 얻을 수 있습니다.
$$\phi_n \approx \frac{10}{\sqrt{a_n}}$$
3단계: $a_{n+1} - a_n$ 식 정리하기
우리가 구해야 하는 극한 식에는 $\tan(a_{n+1} - a_n)$이 들어있습니다. 이 부분을 정리해 봅시다.
$$a_{n+1} - a_n = \left[ \left(n + \frac{1}{2}\right)\pi - \phi_{n+1} \right] - \left[ \left(n - \frac{1}{2}\right)\pi - \phi_n \right] = \pi - (\phi_{n+1} - \phi_n)$$
여기에 탄젠트를 취하면, 탄젠트 함수의 주기성에 의해 다음과 같이 바뀝니다.
$$\tan(a_{n+1} - a_n) = \tan(\pi - (\phi_{n+1} - \phi_n)) = -\tan(\phi_{n+1} - \phi_n)$$
$\phi_n$과 $\phi_{n+1}$은 모두 $0$으로 수렴하므로 그 차이 역시 $0$으로 수렴합니다. 따라서 여기서도 탄젠트 근사를 적용할 수 있습니다.
$$\tan(a_{n+1} - a_n) \approx -(\phi_{n+1} - \phi_n) = \phi_n - \phi_{n+1}$$
4단계: 미분을 이용해 $\phi_n - \phi_{n+1}$ 계산하기
2단계에서 구한 $\phi_n \approx \frac{10}{\sqrt{a_n}}$을 대입하여 차이를 구해봅시다.
함수 $f(x) = \frac{10}{\sqrt{x}} = 10x^{-1/2}$를 정의하면, $\phi_n - \phi_{n+1} \approx f(a_n) - f(a_{n+1})$입니다.
$n$이 매우 클 때, 평균값 정리(또는 미분의 정의)를 이용하면 두 함숫값의 차이를 도함수로 근사할 수 있습니다.
$$f(a_n) - f(a_{n+1}) \approx -f'(a_n)(a_{n+1} - a_n)$$
$f'(x) = -5x^{-3/2} = -\frac{5}{x^{3/2}}$ 이고, $a_{n+1} - a_n \approx \pi$ 이므로 대입하면:
$$\phi_n - \phi_{n+1} \approx -\left(-\frac{5}{a_n^{3/2}}\right) \times \pi = \frac{5\pi}{a_n^{3/2}}$$
따라서, 우리가 원하던 탄젠트 제곱 식은 다음과 같이 근사됩니다.
$$\tan^2(a_{n+1} - a_n) \approx (\phi_n - \phi_{n+1})^2 \approx \left(\frac{5\pi}{a_n^{3/2}}\right)^2 = \frac{25\pi^2}{a_n^3}$$
5단계: 극한값 계산하기
이제 준식에 대입하여 최종 극한값을 구해봅시다!
$$\lim_{n \to \infty} a_n^3 \tan^2(a_{n+1} - a_n) = \lim_{n \to \infty} a_n^3 \times \frac{25\pi^2}{a_n^3} = 25\pi^2$$
따라서 문제에서 요구하는 최종 식의 값은 다음과 같습니다.
$$\frac{1}{\pi^2} \times \lim_{n \to \infty} a_n^3 \tan^2(a_{n+1} - a_n) = \frac{1}{\pi^2} \times 25\pi^2 = 25$$
답
$$25$$
확인해보기
선생님의 설명을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼 시간입니다!
질문: 1단계 풀이 과정에서, 왜 $n$이 무한히 커질 때 교점 $a_n$이 점근선인 $(n - \frac{1}{2})\pi$에 한없이 가까워지는지(즉, $\lim_{n \to \infty} \phi_n = 0$인 이유)를 $y = \frac{\sqrt{x}}{10}$ 그래프의 함숫값 변화와 연관 지어 설명해 보세요.