안녕하세요! 오늘 함께 풀어볼 문제는 무리함수와 삼각함수의 교점을 이용한 수열의 극한 문제입니다. 교점의 좌표를 하나하나 구하기보다, 이웃한 교점 사이의 관계를 찾아 차근차근 해결해 봅시다.
어떤 문제인가
이 문제의 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 탄젠트의 주기와 점근선: 교점이 어느 구간에 있는지 파악합니다.
- 탄젠트의 뺄셈 공식: 교점 조건을 정확한 등식으로 연결합니다.
- 극한의 성질: 이웃한 두 항의 차이와 비를 이용합니다.
먼저 교점의 순서 확인하기
$x=0$도 교점이므로 $a_1=0$입니다. 이 점을 빠뜨리지 않도록 주의하세요.
$H(x)=\tan x-\frac{\sqrt{x}}{10}$이라고 놓아봅시다. $(0,\frac\pi2)$에서는
$$H''(x)=2\sec^2x\tan x+\frac{1}{40x^{3/2}}>0$$
입니다. $H'(x)$는 $-\infty$에서 $+\infty$로 증가하므로, $H$는 처음 감소했다가 증가합니다. 따라서 원점 외에 양의 교점이 정확히 하나 있고, 이것이 $a_2$입니다.
정수 $j\ge1$에 대하여 $(j\pi,j\pi+\frac\pi2)$에서는
$$H'(x)=\sec^2x-\frac{1}{20\sqrt{x}}>0$$
이고, 왼쪽 끝에서 $H<0$, 오른쪽 끝으로 갈 때 $H\to\infty$이므로 교점이 하나씩 있습니다. 탄젠트가 음수인 나머지 구간에는 양의 교점이 없습니다. 따라서 $n\ge2$에서
$$a_n\in\left((n-2)\pi,(n-2)\pi+\frac\pi2\right).$$
교점 조건은
$$\tan a_n=\frac{\sqrt{a_n}}{10}$$
입니다. $a_n\to\infty$이므로 각 교점은 해당 구간 오른쪽 점근선에 가까워집니다. 즉,
$$a_n=\left(n-\frac32\right)\pi-\phi_n,\qquad \phi_n\to0^+.$$
따라서
$$a_{n+1}-a_n=\pi+\phi_n-\phi_{n+1}\to\pi,$$
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=1+\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n}\to1$$
을 얻습니다.
풀이 1) 탄젠트의 뺄셈 공식 이용하기
계산을 간단히 하기 위해 $u=a_n$, $v=a_{n+1}$로 놓겠습니다. $n\ge2$에서 두 값은 양수입니다.
탄젠트의 뺄셈 공식에 교점 조건을 넣으면
입니다. 분자를 유리화하면 다음과 같습니다.
$$\tan(v-u)=\frac{10(v-u)}{(\sqrt v+\sqrt u)(100+\sqrt{uv})}$$
이 식은 근사가 아닌 정확한 등식입니다. 양변을 제곱하고 $u^3$을 곱해 정리해 봅시다.
앞에서 구한 $v-u\to\pi$, $v/u\to1$을 대입하면
입니다. 따라서 구하는 값은 $25$입니다.
풀이 2) 평균값 정리 이용하기
이번에는 점근선까지의 거리 $\phi_n$을 이용해 봅시다. 교점 조건에서
$$\tan\phi_n=\frac{10}{\sqrt{a_n}}$$
이므로, $h(x)=\arctan(10/\sqrt{x})$로 놓으면 $\phi_n=h(a_n)$입니다. 여기서 $\arctan$은 탄젠트의 역함수입니다.
미분하면
$$h'(x)=-\frac{5}{\sqrt{x}(x+100)}$$
입니다. 평균값 정리에 의해 $a_n<\xi_n<a_{n+1}$인 어떤 $\xi_n$에 대하여
입니다. $a_{n+1}/a_n\to1$이므로 $\xi_n/a_n\to1$이고,
$$a_n^{3/2}(\phi_n-\phi_{n+1})\to5\pi$$
를 얻습니다.
또한 탄젠트의 주기성에 의해
$$\tan(a_{n+1}-a_n)=\tan(\phi_n-\phi_{n+1})$$
이고, $\tan z/z\to1$이므로 같은 극한 $25\pi^2$를 얻습니다. 이 풀이는 역삼각함수의 미분을 이용한 보충 방법이며, 풀이 1)은 탄젠트의 뺄셈 공식만으로 계산할 수 있습니다.
답
$$25$$
확인해보기
왜 $n$이 커질수록 교점 $a_n$이 점근선 $x=(n-\frac32)\pi$에 가까워질까요? 교점에서 $\tan a_n=\sqrt{a_n}/10$이라는 조건과 탄젠트 그래프의 모습을 연결해 설명해 보세요.