어떤 문제인가
이 문제는 거듭제곱근과 분수 형태가 섞여 있는 복잡한 식을 지수법칙을 이용하여 간단한 수로 나타내는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 거듭제곱근을 분수 지수로 바꾸기: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$
- 지수의 나눗셈 법칙: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
- 지수의 거듭제곱 법칙: $(a^m)^n = a^{m \times n}$
단계별 풀이
1단계: 괄호 안의 분모와 분자를 '5의 거듭제곱' 형태로 통일하기
괄호 안에 있는 수들을 밑이 $5$인 지수 형태로 바꾸어 주면 계산하기가 훨씬 편해집니다.
- 분자: $5$는 지수로 나타내면 $5^1$입니다.
- 분모: $\sqrt[3]{25}$에서 $25$는 $5^2$이므로, 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.
$$\sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}}$$
2단계: 지수법칙을 이용해 괄호 안의 식 간단히 만들기
이제 분수 식을 지수의 나눗셈 법칙($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$)을 사용해 정리해 봅시다.
$$\frac{5}{\sqrt[3]{25}} = \frac{5^1}{5^{\frac{2}{3}}} = 5^{1 - \frac{2}{3}}$$
지수를 계산하면 $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$이 되므로, 괄호 안의 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$5^{\frac{1}{3}}$$
3단계: 바깥쪽 지수 적용하기
이제 원래 식의 바깥쪽에 있던 지수 $\frac{3}{2}$를 적용할 차례입니다. 지수의 거듭제곱 법칙($(a^m)^n = a^{m \times n}$)을 사용합니다.
$$\left( \frac{5}{\sqrt[3]{25}} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( 5^{\frac{1}{3}} \right)^{\frac{3}{2}}$$
두 지수를 곱해줍니다.
$$5^{\frac{1}{3} \times \frac{3}{2}} = 5^{\frac{1}{2}}$$
마지막으로 분수 지수를 다시 루트 기호로 바꾸어 주면 됩니다.
$$5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$$
답
정답은 **④ $\sqrt{5}$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 지수법칙을 잘 이해했는지 다음 문제를 스스로 풀어보며 확인해 보세요!
> 질문: $\left( \frac{3}{\sqrt[4]{27}} \right)^{4}$을 지수법칙을 사용해 계산하면 어떤 값이 나올까요? (위의 1~3단계 순서대로 천천히 풀어보세요.)