어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각함수 조건들을 활용하여 삼각형의 세 변의 길이와 각도에 대한 정보를 알아내고, 최종적으로 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- **외접원의 넓이와 반지름($R$)의 관계**: 원의 넓이 공식 $S = \pi R^2$을 이용해 외접원의 반지름을 구합니다.
- 사인법칙: 삼각형의 변의 길이와 대각의 사인 값 사이의 관계인 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$을 이용합니다.
- 코사인법칙: 세 변의 길이를 알 때 한 각의 코사인 값을 구하는 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$를 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 외접원의 반지름 $R$ 구하기
외접원의 넓이가 $9\pi$라고 주어졌습니다. 외접원의 반지름을 $R$이라고 하면 원의 넓이 공식에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\pi R^2 = 9\pi$$
양변을 $\pi$로 나누면 $R^2 = 9$가 되고, 반지름 $R$은 양수이므로 다음과 같습니다.
$$R = 3$$
2단계: 조건 (나)를 통해 삼각형의 모양 파악하기
조건 (나)에서 $\cos B = \cos C$라고 했습니다.
삼각형의 내각 $B$와 $C$는 모두 $0^\circ$보다 크고 $180^\circ$보다 작습니다 ($0 < B, C < \pi$). 이 범위에서 코사인 값이 같으려면 두 각의 크기가 같아야만 합니다.
$$B = C$$
두 밑각의 크기가 같으므로, 삼각형 $\text{ABC}$는 $b = c$인 이등변삼각형입니다.
3단계: 조건 (가)와 사인법칙으로 변의 길이 비율 구하기
조건 (가)는 $3\sin A = 2\sin B$입니다. 여기에 사인법칙을 적용해 봅시다.
사인법칙에 의해 $\sin A = \frac{a}{2R}$, $\sin B = \frac{b}{2R}$입니다. 이를 조건 (가)에 대입하면 다음과 같습니다.
$$3 \left(\frac{a}{2R}\right) = 2 \left(\frac{b}{2R}\right)$$
양변에서 분모 $2R$을 곱해 정리하면 아주 간단한 비례식을 얻을 수 있습니다.
$$3a = 2b \implies b = \frac{3}{2}a$$
2단계에서 $b = c$임을 알았으므로, 세 변의 길이의 비를 하나의 상수 $k$를 사용해 표현할 수 있습니다. 계산을 편하게 하기 위해 $a = 2k$라고 두면 다음과 같이 정리됩니다.
$$a = 2k, \quad b = 3k, \quad c = 3k \quad (k > 0)$$
4단계: 코사인법칙으로 $\cos A$와 $\sin A$ 구하기
세 변의 비율을 알았으니, 코사인법칙을 이용해 각 $A$에 대한 삼각비 값을 구해봅시다.
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$
여기에 우리가 설정한 변의 길이를 대입합니다.
$$(2k)^2 = (3k)^2 + (3k)^2 - 2(3k)(3k) \cos A$$
$$4k^2 = 9k^2 + 9k^2 - 18k^2 \cos A$$
$$4k^2 = 18k^2 - 18k^2 \cos A$$
양변을 $k^2$으로 나누고 (이때 $k > 0$이므로 나눌 수 있습니다), $\cos A$에 대해 정리합니다.
$$18 \cos A = 14 \implies \cos A = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}$$
이제 사인과 코사인의 관계식 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$을 이용해 $\sin A$를 구합니다. 삼각형의 내각 $A$에 대해 $\sin A > 0$이므로 다음과 같습니다.
$$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{9}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{81}} = \sqrt{\frac{32}{81}} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$$
5단계: 실제 변의 길이와 삼각형의 넓이 구하기
사인법칙 $\frac{a}{\sin A} = 2R$을 다시 이용하여 실제 변 $a$의 길이를 구합니다. ($R = 3$ 대입)
$$a = 2R \sin A = 2 \times 3 \times \frac{4\sqrt{2}}{9} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$$
우리가 $a = 2k$라고 두었으므로, $k$의 값은 다음과 같습니다.
$$2k = \frac{8\sqrt{2}}{3} \implies k = \frac{4\sqrt{2}}{3}$$
따라서 변 $b$와 $c$의 실제 길이는 다음과 같습니다.
$$b = c = 3k = 3 \times \frac{4\sqrt{2}}{3} = 4\sqrt{2}$$
마지막으로, 삼각형 $\text{ABC}$의 넓이 $S$를 구합니다. 두 변 $b, c$와 그 끼인각 $A$의 사인 값을 이용합니다.
$$S = \frac{1}{2} bc \sin A$$
$$S = \frac{1}{2} \times (4\sqrt{2}) \times (4\sqrt{2}) \times \frac{4\sqrt{2}}{9}$$
$$S = \frac{1}{2} \times 32 \times \frac{4\sqrt{2}}{9} = 16 \times \frac{4\sqrt{2}}{9} = \frac{64\sqrt{2}}{9}$$
답
정답은 ⑤번 $\frac{64\sqrt{2}}{9}$ 입니다.
확인해보기
공부한 내용을 바탕으로 다음 질문에 스스로 답해볼까요?
> 질문: 어떤 삼각형 $\text{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이가 $R = 5$이고, 세 각의 사인 값의 비가 $\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 4 : 5$라고 합니다. 이 삼각형은 어떤 삼각형이며, 가장 긴 변의 길이는 얼마일까요? (힌트: 사인법칙을 이용해 사인 값의 비를 변의 길이의 비로 바꾸어 보세요!)