어떤 문제인가
이 문제는 조건들을 단서 삼아 삼차함수 $f(x)$의 식을 구하고, 최종적으로 $f(1)$의 값을 찾는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 극한의 성질과 미분계수의 정의: 분모가 $0$으로 갈 때 극한값이 존재하면 분자도 $0$으로 가야 한다는 성질과, 이를 통해 미분계수 $f'(a)$를 이끌어내는 방법입니다.
- 접선의 방정식: 곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 세우고, $y$절편을 구하는 방법입니다.
- 다항함수의 결정: 주어진 조건을 이용해 삼차함수의 미지수(계수)를 구하는 과정입니다.
단계별 풀이
1단계: 극한 식을 해석하여 $f(a)$와 $f'(a)$의 값 구하기
주어진 극한 식을 먼저 살펴봅시다.
$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)-1}{x-a} = 3$$
- 분모의 극한 확인: $x \to a$일 때, 분모인 $x-a \to 0$입니다.
- 분자의 극한 확인: 극한값이 $3$으로 존재하므로, 분자 역시 $0$으로 수렴해야 합니다. 즉, $\lim_{x \to a} (f(x)-1) = 0$이어야 합니다. $f(x)$는 삼차함수이므로 연속함수입니다. 따라서 다음을 얻을 수 있습니다.
$$f(a) = 1$$
- 미분계수로 변형: $1$ 대신 $f(a)$를 대입하여 식을 다시 쓰면 미분계수의 정의가 됩니다.
$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) = 3$$
이 단계에서 우리는 아주 중요한 두 가지 정보인 **$f(a) = 1$과 $f'(a) = 3$**을 찾아냈습니다.
2단계: 접선의 방정식을 이용하여 상수 $a$의 값 구하기
곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식을 세워봅시다. 접선의 기울기는 $f'(a)$이므로 접선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$
여기에 1단계에서 구한 $f(a) = 1$, $f'(a) = 3$을 대입합니다.
$$y - 1 = 3(x - a)$$
$$y = 3x - 3a + 1$$
이 접선의 $y$절편이 $4$라고 문제에서 주어졌습니다. $y$절편은 $x=0$일 때의 $y$값이므로 다음과 같은 식을 세울 수 있습니다.
$$-3a + 1 = 4$$
$$-3a = 3$$
$$a = -1$$
이로써 상수 $a$의 값이 **$-1$**임을 알게 되었습니다. 즉, $f(-1) = 1$이고 $f'(-1) = 3$입니다.
3단계: 삼차함수 $f(x)$ 식 완성하기
이제 삼차함수 $f(x)$의 식을 구체적으로 세워봅시다.
- 최고차항의 계수가 $1$이고, $f(0)=0$이므로 상수항은 $0$입니다.
- 따라서 $f(x)$를 다음과 같이 놓을 수 있습니다. (단, $p, q$는 상수)
$$f(x) = x^3 + px^2 + qx$$
이 식을 미분하면 다음과 같습니다.
$$f'(x) = 3x^2 + 2px + q$$
우리가 알고 있는 두 가지 조건 $f(-1) = 1$과 $f'(-1) = 3$을 대입하여 $p$와 $q$를 구해봅시다.
- $f(-1) = 1$ 대입:
$$(-1)^3 + p(-1)^2 + q(-1) = 1$$
$$-1 + p - q = 1 \implies p - q = 2 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
- $f'(-1) = 3$ 대입:
$$3(-1)^2 + 2p(-1) + q = 3$$
$$3 - 2p + q = 3 \implies -2p + q = 0 \implies q = 2p \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
(식 2)의 $q = 2p$를 (식 1)에 대입합니다.
$$p - 2p = 2 \implies -p = 2 \implies p = -2$$
$p = -2$이므로, $q = 2(-2) = -4$가 됩니다.
따라서 우리가 구하고자 했던 삼차함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x$$
4단계: $f(1)$의 값 계산하기
마지막으로 $f(1)$의 값을 구합니다. $f(x)$에 $x=1$을 대입하면 됩니다.
$$f(1) = 1^3 - 2(1)^2 - 4(1)$$
$$f(1) = 1 - 2 - 4 = -5$$
답
⑤ $-5$
확인해보기
이 문제를 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다.
> 질문: 어떤 다항함수 $g(x)$에 대하여 $\lim_{x \to 2} \frac{g(x) - 5}{x - 2} = 4$ 일 때, 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(2, g(2))$에서의 접선의 방정식은 무엇일까요? (직접 공식을 세워 답을 구해보세요.)