어떤 문제인가
이 문제는 두 지수함수 $y=2^x$와 $y=1-2^{-x}$의 그래프 위에 있는 네 점 $\mathrm{A, B, C, D}$로 이루어진 사각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 좌표 설정과 치환: 그래프 위의 한 점의 $x$좌표를 $a$로 두고, 나머지 점들의 좌표를 $a$에 대한 식으로 나타냅니다. 이때 계산을 간단하게 만들기 위해 $2^a = t$로 치환합니다.
- 선분의 길이 표현: 축에 평행한 선분의 길이는 두 점의 $y$좌표 차이(또는 $x$좌표 차이)로 구합니다.
- 사다리꼴의 넓이: 사각형 $\mathrm{ABCD}$는 두 변 $\mathrm{AB}$와 $\mathrm{CD}$가 $y$축에 평행하므로 평행한 두 변을 갖는 사다리꼴입니다. 사다리꼴의 넓이 공식 $\frac{1}{2} \times (\text{윗변} + \text{아랫변}) \times \text{높이}$를 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 정하고, 다른 점들의 좌표 표현하기
점 $\mathrm{A}$는 곡선 $y=1-2^{-x}$ 위의 제1사분면에 있는 점이므로, 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표를 $a$ ($a > 0$)라고 합시다.
- **점 $\mathrm{A}$의 좌표**:
$$\mathrm{A}(a, 1-2^{-a})$$
- **점 $\mathrm{B}$의 좌표**:
점 $\mathrm{B}$는 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $y$축에 평행한 직선(즉, $x=a$)이 곡선 $y=2^x$과 만나는 점입니다.
$$\mathrm{B}(a, 2^a)$$
- **점 $\mathrm{C}$의 좌표**:
점 $\mathrm{C}$는 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선(즉, $y = 1-2^{-a}$)이 곡선 $y=2^x$과 만나는 점입니다. 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표를 $x_C$라 하면,
$$2^{x_C} = 1-2^{-a}$$
가 성립합니다.
- **점 $\mathrm{D}$의 좌표**:
점 $\mathrm{D}$는 점 $\mathrm{C}$를 지나고 $y$축에 평행한 직선(즉, $x=x_C$)이 곡선 $y=1-2^{-x}$과 만나는 점입니다.
$$\mathrm{D}(x_C, 1-2^{-x_C})$$
2단계: 계산을 돕기 위해 치환하고 선분의 길이 구하기
계산을 아주 깔끔하게 만들기 위해 $2^a = t$ ($t > 1$)로 치환해 봅시다.
그러면 $2^{-a} = \frac{1}{t}$이 됩니다.
이제 선분 $\mathrm{AB}$와 $\mathrm{CD}$의 길이를 $t$로 표현해 봅시다.
- **선분 $\mathrm{AB}$의 길이**:
$$\overline{\mathrm{AB}} = y_B - y_A = t - \left(1 - \frac{1}{t}\right) = t + \frac{1}{t} - 1 = \frac{t^2 - t + 1}{t}$$
- **선분 $\mathrm{CD}$의 길이**:
점 $\mathrm{C}$의 $y$좌표는 $y_C = 1 - \frac{1}{t} = \frac{t-1}{t}$입니다.
점 $\mathrm{C}$가 $y=2^x$ 위에 있으므로 $2^{x_C} = \frac{t-1}{t}$이고, 역수를 취하면 $2^{-x_C} = \frac{t}{t-1}$이 됩니다.
따라서 점 $\mathrm{D}$의 $y$좌표는 다음과 같습니다.
$$y_D = 1 - 2^{-x_C} = 1 - \frac{t}{t-1} = \frac{(t-1) - t}{t-1} = -\frac{1}{t-1}$$
이제 $\overline{\mathrm{CD}}$의 길이를 구하면,
$$\overline{\mathrm{CD}} = y_C - y_D = \frac{t-1}{t} - \left(-\frac{1}{t-1}\right) = \frac{t-1}{t} + \frac{1}{t-1}$$
통분하여 정리하면,
$$\overline{\mathrm{CD}} = \frac{(t-1)^2 + t}{t(t-1)} = \frac{t^2 - t + 1}{t(t-1)}$$
3단계: 조건 $\overline{\mathrm{AB}} = 2\overline{\mathrm{CD}}$를 이용하여 $t$와 $a$의 값 구하기
문제에서 주어진 조건인 $\overline{\mathrm{AB}} = 2\overline{\mathrm{CD}}$에 우리가 구한 식을 대입해 봅시다.
$$\frac{t^2 - t + 1}{t} = 2 \cdot \frac{t^2 - t + 1}{t(t-1)}$$
양변에서 공통부분인 $\frac{t^2 - t + 1}{t}$을 나누어 줍니다. ($t > 1$이므로 이 값은 항상 양수여서 나눌 수 있습니다.)
$$1 = \frac{2}{t-1}$$
$$t - 1 = 2 \implies t = 3$$
우리가 $2^a = t$로 놓았으므로, $2^a = 3$에서 **$a = \log_2 3$**을 얻게 됩니다!
4단계: 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 구하기
이제 구한 $t=3$을 대입하여 필요한 값들을 모두 구해봅시다.
- 평행한 두 변의 길이:
$$\overline{\mathrm{AB}} = \frac{3^2 - 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$$
$$\overline{\mathrm{CD}} = \frac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}} = \frac{7}{6}$$
- **사다리꼴의 높이 ($h$)**:
높이는 두 세로선 사이의 가로 거리이므로, 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표와 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표의 차이입니다.
$$h = x_A - x_C = a - x_C$$
이때 $2^{x_C} = \frac{t-1}{t} = \frac{2}{3}$이므로, $x_C = \log_2 \frac{2}{3} = \log_2 2 - \log_2 3 = 1 - \log_2 3$입니다.
따라서 높이 $h$는 다음과 같습니다.
$$h = \log_2 3 - (1 - \log_2 3) = 2\log_2 3 - 1$$
- **사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 ($S$)**:
$$S = \frac{1}{2} \times (\overline{\mathrm{AB}} + \overline{\mathrm{CD}}) \times h$$
$$S = \frac{1}{2} \times \left(\frac{7}{3} + \frac{7}{6}\right) \times (2\log_2 3 - 1)$$
$$S = \frac{1}{2} \times \frac{7}{2} \times (2\log_2 3 - 1)$$
$$S = \frac{7}{4}(2\log_2 3 - 1) = \frac{7}{2}\log_2 3 - \frac{7}{4}$$
답
정답은 ③번인 $\frac{7}{2}\log_2 3 - \frac{7}{4}$ 입니다.
확인해보기
풀이 과정의 4단계에서 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표인 $x_C$를 구할 때, $2^{x_C} = \frac{2}{3}$라는 식을 사용해 $x_C = 1 - \log_2 3$을 유도했습니다.
질문: 만약 점 $\mathrm{A}$의 $y$좌표가 $1 - 2^{-a}$가 아니라 $\frac{3}{4}$으로 주어졌다면, 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표 $x_C$는 얼마가 될까요? 로그의 정의를 생각하며 스스로 계산해 보세요!