어떤 문제인가
이 문제는 두 곡선(삼차함수와 직선)으로 둘러싸인 두 영역의 넓이의 차가 주어졌을 때, 미지수 $m$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 넣어두어야 할 핵심 개념 2가지는 다음과 같습니다.
- 두 곡선 사이의 넓이: 구간 $[a, b]$에서 두 함수 $f(x), g(x)$ 중 $f(x) \ge g(x)$이면, 둘러싸인 넓이는 $\int_{a}^{b} \{f(x) - g(x)\} dx$로 구합니다.
- 정적분의 성질: 구간을 나누어 적분한 값을 하나로 합치는 성질, 즉 $\int_{a}^{c} h(x) dx + \int_{c}^{b} h(x) dx = \int_{a}^{b} h(x) dx$를 이용하면 복잡한 계산을 아주 쉽게 줄일 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 교점을 기준으로 영역 $A$와 $B$를 정적분으로 표현하기
곡선 $y = \frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{2}x$를 $f(x)$, 직선 $y = mx + 2$를 $g(x)$라고 합시다.
그림을 보면 두 그래프는 $x > 0$인 어떤 지점에서 만나고 있습니다. 이 교점의 $x$좌표를 알파($\alpha$)라고 해볼게요. ($0 < \alpha < 2$)
- **영역 $A$ (구간 $[0, \alpha]$)**:
이 구간에서는 직선 $g(x)$가 곡선 $f(x)$보다 위에 있습니다. 따라서 넓이 $A$는 다음과 같습니다.
$$A = \int_{0}^{\alpha} \{g(x) - f(x)\} dx$$
- **영역 $B$ (구간 $[\alpha, 2]$)**:
이 구간에서는 곡선 $f(x)$가 직선 $g(x)$보다 위에 있습니다. 따라서 넓이 $B$는 다음과 같습니다.
$$B = \int_{\alpha}^{2} \{f(x) - g(x)\} dx$$
2단계: $B - A$ 식을 정적분의 성질로 단순화하기
문제에서 $B - A = \frac{2}{3}$라고 했습니다. 위에서 구한 식을 대입해 볼까요?
$$B - A = \int_{\alpha}^{2} \{f(x) - g(x)\} dx - \int_{0}^{\alpha} \{g(x) - f(x)\} dx$$
여기서 빼기 뒤에 있는 식의 피적분 함수 $\{g(x) - f(x)\}$의 부호를 바꾸어 더하기로 고쳐봅시다. 즉, $-\{g(x) - f(x)\} = \{f(x) - g(x)\}$가 되므로,
$$B - A = \int_{\alpha}^{2} \{f(x) - g(x)\} dx + \int_{0}^{\alpha} \{f(x) - g(x)\} dx$$
적분 구간의 순서를 보기 좋게 정리하면 다음과 같습니다.
$$B - A = \int_{0}^{\alpha} \{f(x) - g(x)\} dx + \int_{\alpha}^{2} \{f(x) - g(x)\} dx$$
어때요? 피적분 함수가 $\{f(x) - g(x)\}$로 똑같고, 적분 구간이 $0$에서 $\alpha$까지, 그리고 이어서 $\alpha$에서 $2$까지 연결되네요! 정적분의 성질에 의해 이 두 식을 하나로 합칠 수 있습니다.
$$B - A = \int_{0}^{2} \{f(x) - g(x)\} dx$$
교점인 $\alpha$가 무엇인지 몰라도, $0$부터 $2$까지 한 번에 적분하면 된다는 놀라운 사실을 알게 되었습니다!
3단계: 정적분 계산하고 $m$ 구하기
이제 식을 직접 세워 계산해 봅시다. $B - A = \frac{2}{3}$이므로,
$$\int_{0}^{2} \left\{ \left(\frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{2}x\right) - (mx + 2) \right\} dx = \frac{2}{3}$$
괄호 안을 정리하면,
$$\int_{0}^{2} \left\{ \frac{1}{4}x^3 + \left(\frac{1}{2} - m\right)x - 2 \right\} dx = \frac{2}{3}$$
이제 부정적분을 구합니다.
$$\left[ \frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - m\right)x^2 - 2x \right]_{0}^{2} = \frac{2}{3}$$
위끝 $2$와 아래끝 $0$을 대입합니다.
$$\left( \frac{16}{16} + \frac{4}{2}\left(\frac{1}{2} - m\right) - 4 \right) - 0 = \frac{2}{3}$$
$$1 + 2\left(\frac{1}{2} - m\right) - 4 = \frac{2}{3}$$
$$1 + 1 - 2m - 4 = \frac{2}{3}$$
$$-2m - 2 = \frac{2}{3}$$
$$-2m = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3}$$
$$m = -\frac{4}{3}$$
문제의 단서 조항에서 $m < -1$이라고 했는데, 구한 값 $-\frac{4}{3}$는 $-1.33...$이므로 이 조건도 멋지게 만족합니다!
답
**③ $-\frac{4}{3}$**
확인해보기
만약 문제에서 두 영역의 넓이가 서로 같다고 했다면, 즉 $A = B$ (또는 $B - A = 0$)였다면 정적분 식 $\int_{0}^{2} \{f(x) - g(x)\} dx$의 값은 얼마가 되어야 할까요? 그 이유는 무엇일지 스스로 생각해 보세요!