어떤 문제인가
이 문제는 주어진 로그 부등식이 양수가 되도록 하는 자연수 $n$의 개수가 딱 $12$개가 되도록 하는 자연수 $k$의 값을 찾는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 로그의 진수 조건: 로그가 정의되려면 진수(로그 기호 안의 식)는 항상 양수여야 합니다.
- 로그의 밑 변환과 성질: 밑이 다른 로그를 비교하기 위해 밑을 같게 통일해야 합니다.
- 부등식의 영역과 자연수의 개수: 조건들을 만족하는 자연수 $n$의 범위를 구하고, 개수가 12개가 되도록 경계값을 조절합니다.
단계별 풀이
1단계: 로그가 정의될 조건(진수 조건) 구하기
로그 문제에서 가장 먼저 해야 할 일은 진수가 0보다 크다는 조건을 챙기는 것입니다. 이 조건을 놓치면 엉뚱한 답이 나올 수 있어요.
첫 번째 로그의 진수 조건:
$$-n^2 + 10n + 75 > 0$$
양변에 $-1$을 곱하면 부등호 방향이 바뀝니다.
$$n^2 - 10n - 75 < 0$$
인수분해를 하면,
$$(n-15)(n+5) < 0 \implies -5 < n < 15$$
그런데 문제에서 $n$은 자연수라고 했으므로, $n$이 될 수 있는 후보는 일단 다음과 같습니다.
$$n \in \{1, 2, 3, \dots, 14\} \quad \text{(즉, } n \le 14\text{)}$$
두 번째 로그의 진수 조건:
$$75 - kn > 0 \implies kn < 75$$
2단계: 로그 부등식 풀기 (밑 통일하기)
이제 주어진 식의 값이 '양수(>0)'가 된다는 조건을 식으로 세워봅시다.
$$\log_2 \sqrt{-n^2 + 10n + 75} - \log_4 (75 - kn) > 0$$
두 로그의 밑이 각각 $2$와 $4$로 다릅니다. 밑을 $4$로 통일해 줄게요.
로그의 성질 $\log_a b = \log_{a^2} b^2$을 이용하면 첫 번째 항을 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.
$$\log_2 \sqrt{-n^2 + 10n + 75} = \log_{2^2} \left(\sqrt{-n^2 + 10n + 75}\right)^2 = \log_4 (-n^2 + 10n + 75)$$
이제 이 식을 원래 부등식에 대입하면,
$$\log_4 (-n^2 + 10n + 75) > \log_4 (75 - kn)$$
밑이 $4$로 $1$보다 크므로, 로그를 떼어내도 부등호 방향이 그대로 유지됩니다.
$$-n^2 + 10n + 75 > 75 - kn$$
양변에서 $75$를 없애고 정리해 봅시다.
$$-n^2 + 10n > -kn \implies n^2 - 10n < kn$$
$n$은 자연수(양수)이므로 양변을 $n$으로 나누어도 부등호 방향이 바뀌지 않습니다.
$$n - 10 < k \implies n < k + 10$$
3단계: 자연수 $n$의 조건 종합하기
지금까지 구한 자연수 $n$이 만족해야 하는 조건들을 한눈에 보기 쉽게 정리해 봅시다.
- $n \le 14$ (1단계 진수 조건)
- $n < \frac{75}{k}$ (2단계 진수 조건)
- $n < k + 10$ (로그 부등식 결과)
이 세 가지 조건을 동시에 만족하는 자연수 $n$의 개수가 정확히 12개여야 합니다.
자연수는 $1$부터 시작하므로, 만족하는 $n$의 집합이 반드시 $\{1, 2, 3, \dots, 12\}$가 되어야 한다는 뜻입니다.
즉, **$n = 12$는 조건을 만족해야 하고, $n = 13$은 조건을 만족하지 않아야 합니다.**
4단계: 자연수 $k$의 값 구하기
$n = 12$가 조건을 만족해야 하므로, 위의 조건 2와 3에 $n = 12$를 대입해 봅시다.
- 조건 3에서: $12 < k + 10 \implies k > 2$
- 조건 2에서: $12 < \frac{75}{k} \implies 12k < 75 \implies k < 6.25$
$k$는 자연수이므로, 가능한 $k$의 후보는 **$3, 4, 5, 6$**입니다. 이 후보들을 하나씩 검증해 보며 $n$의 개수가 정말 12개가 되는지 확인해 봅시다.
- **$k = 3$일 때**:
* 조건: $n \le 14$, $n < 13$, $n < 25$
* 공통 범위: $n < 13 \implies n$은 $1$부터 $12$까지 총 12개 (만족!)
- **$k = 4$일 때**:
* 조건: $n \le 14$, $n < 14$, $n < 18.75$
* 공통 범위: $n < 14 \implies n$은 $1$부터 $13$까지 총 13개 (탈락!)
- **$k = 5$일 때**:
* 조건: $n \le 14$, $n < 15$, $n < 15$
* 공통 범위: $n \le 14 \implies n$은 $1$부터 $14$까지 총 14개 (탈락!)
- **$k = 6$일 때**:
* 조건: $n \le 14$, $n < 16$, $n < 12.5$
* 공통 범위: $n < 12.5 \implies n$은 $1$부터 $12$까지 총 12개 (만족!)
- **$k \ge 7$일 때**:
* $n < \frac{75}{7} \approx 10.7$ 이므로 만족하는 $n$의 개수가 10개 이하가 되어 조건을 만족할 수 없습니다.
따라서 조건을 만족하는 모든 자연수 $k$의 값은 $3$과 $6$입니다.
이들의 합은 $3 + 6 = 9$입니다.
답
정답은 **④ $9$** 입니다.
확인해보기
공부를 마친 후 스스로 생각해보는 시간입니다. 다음 질문에 대해 고민해 보세요.
> 질문: 만약 문제에서 로그의 밑이 $2$와 $4$가 아니라, $1$보다 작은 값인 $\frac{1}{2}$과 $\frac{1}{4}$로 주어졌다면, 2단계에서 로그 기호를 뗄 때 부등호의 방향은 어떻게 변해야 할까요? 그 이유를 로그함수의 그래프 성질과 연결 지어 설명해 보세요.