어떤 문제인가
이 문제는 실수 전체에서 증가하고 미분가능한 함수 $g(x)$의 성질을 파악하고, 주어진 정적분 부등식을 통해 함수 $g(x)$의 구체적인 형태를 결정하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 미분가능성과 연속성: 두 함수가 만나는 경계점 $x=k$에서 함수가 매끄럽게 연결되어야 합니다.
- 정적분 부등식의 해석: 피적분함수의 부호와 적분 구간의 방향에 따라 정적분 값이 어떻게 변하는지 이해해야 합니다.
- 삼차함수의 증가 조건: 도함수 $f'(x) \ge 0$ 조건을 이용하여 삼차함수의 계수의 범위를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: $x=k$에서 미분가능성 조건 적용하기
함수 $g(x)$는 실수 전체에서 미분가능하므로, 두 함수가 갈라지는 기준점인 $x=k$에서 연속이어야 하고 미분계수가 같아야 합니다.
- 연속 조건: $x \to k$일 때 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.
$$\lim_{x \to k^-} (2x-k) = \lim_{x \to k^+} f(x) \implies 2k-k = f(k) \implies f(k) = k$$
- 미분가능 조건: $x \to k$일 때 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 합니다.
$$\lim_{x \to k^-} g'(x) = \lim_{x \to k^+} f'(x) \implies 2 = f'(k)$$
따라서 우리는 $f(k) = k$, $f'(k) = 2$라는 아주 중요한 정보를 얻었습니다.
2단계: 첫 번째 정적분 조건 (나) 해석하기
첫 번째 부등식을 살펴봅시다.
$$\int_{0}^{x} g(t) \left\{ |t(t-1)| + t(t-1) \right\} dt \ge 0$$
여기서 피적분함수의 일부분인 $h_1(t) = |t(t-1)| + t(t-1)$를 정의해 봅시다.
절댓값 안의 식 $t(t-1)$의 부호에 따라 $h_1(t)$는 다음과 같이 정리됩니다.
- $t < 0$ 또는 $t > 1$ 일 때: $h_1(t) = 2t(t-1) > 0$
- $0 \le t \le 1$ 일 때: $h_1(t) = 0$
즉, $h_1(t)$는 항상 $0$ 이상인 함수입니다. 이제 정적분 부등식 $\int_{0}^{x} g(t)h_1(t) dt \ge 0$을 분석해 봅시다.
- **$x > 1$ 일 때**:
$0$부터 $1$까지는 $h_1(t)=0$이므로 적분값이 $0$입니다. 따라서 $\int_{1}^{x} g(t) \cdot 2t(t-1) dt \ge 0$이어야 합니다. $2t(t-1) > 0$이므로, 이 값이 항상 $0$ 이상이려면 $t > 1$에서 $g(t) \ge 0$이어야 합니다. $g(x)$는 증가함수이므로, 결국 **$g(1) \ge 0$**이어야 합니다.
- **$x < 0$ 일 때**:
적분 구간의 위아래를 바꾸면 $-\int_{x}^{0} g(t)h_1(t) dt \ge 0 \implies \int_{x}^{0} g(t)h_1(t) dt \le 0$이 됩니다. $t < 0$ 영역에서 $h_1(t) > 0$이므로, 이 적분값이 항상 $0$ 이하가 되려면 $g(t) \le 0$이어야 합니다. 따라서 **$g(0) \le 0$**이어야 합니다.
3단계: 두 번째 정적분 조건 (나) 해석하기
두 번째 부등식을 봅시다.
$$\int_{3}^{x} g(t) \left\{ |(t-1)(t+2)| - (t-1)(t+2) \right\} dt \ge 0$$
마찬가지로 $h_2(t) = |(t-1)(t+2)| - (t-1)(t+2)$라 합시다.
- $-2 \le t \le 1$ 일 때: $h_2(t) = -2(t-1)(t+2) > 0$
- $t < -2$ 또는 $t > 1$ 일 때: $h_2(t) = 0$
이 함수 역시 항상 $0$ 이상입니다. 부등식 $\int_{3}^{x} g(t)h_2(t) dt \ge 0$을 분석해 봅시다.
- **$x < 3$ 일 때**:
$-\int_{x}^{3} g(t)h_2(t) dt \ge 0 \implies \int_{x}^{3} g(t)h_2(t) dt \le 0$입니다.
그런데 $t > 1$ 영역에서는 $h_2(t) = 0$이므로, 결국 이 조건은 $\int_{x}^{1} g(t)h_2(t) dt \le 0$ (단, $x \le 1$)과 같습니다.
$-2 < t < 1$ 영역에서 $h_2(t) > 0$이므로, 이 적분값이 항상 $0$ 이하가 되려면 이 구간에서 $g(t) \le 0$이어야 합니다. $g(x)$는 증가함수이므로, 가장 큰 값인 **$g(1) \le 0$**을 만족하면 됩니다.
4단계: $g(1) = 0$을 이용해 $k$ 값 구하기
2단계와 3단계의 결과를 종합해 봅시다.
- 2단계 결과: $g(1) \ge 0$
- 3단계 결과: $g(1) \le 0$
두 조건을 동시에 만족하려면 반드시 **$g(1) = 0$**이어야 합니다!
이제 상수 $k (k \ge 0)$의 범위를 나누어 $k$ 값을 구해보겠습니다.
- **$k \ge 1$ 인 경우**:
$g(x)$의 정의에 따라 $x \le k$이므로 $g(1) = 2(1) - k = 2-k$입니다.
$g(1) = 0$이어야 하므로, $2-k = 0 \implies k = 2$가 됩니다. (조건 $k \ge 1$ 만족)
- **$k < 1$ 인 경우**:
$g(1) = f(1) = 0$이 됩니다.
$g(x)$는 증가함수이고 $k \ge 0$이므로, $f(k) = k \ge 0$입니다.
그런데 $k < 1$이므로 증가함수의 성질에 의해 $f(k) \le f(1)$이어야 합니다.
즉, $k \le 0$이 되는데, 문제에서 $k \ge 0$이라 했으므로 가능한 값은 $k=0$뿐입니다.
만약 $k=0$이면 $f(0)=0, f'(0)=2, f(1)=0$이 되는데, 이를 만족하는 삼차함수 $f(x) = x(x-1)(x-2)$는 $x > 0$에서 항상 증가하지 않으므로 모순이 생깁니다.
따라서 우리는 **$k = 2$**임을 확실하게 알 수 있습니다!
5단계: 삼차함수 $f(x)$ 식 세우기 및 최솟값 구하기
$k=2$이므로, $f(2) = 2$, $f'(2) = 2$입니다.
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$를 $x=2$를 기준으로 다음과 같이 식을 세우면 계산이 아주 편리해집니다.
$$f(x) = (x-2)^3 + a(x-2)^2 + 2(x-2) + 2$$
이 함수를 미분해 봅시다.
$$f'(x) = 3(x-2)^2 + 2a(x-2) + 2$$
$g(x)$가 실수 전체에서 증가해야 하므로, $x > 2$ 영역에서 $f'(x) \ge 0$이어야 합니다.
편의를 위해 $t = x-2 \ge 0$이라 치환하면, 다음 이차부등식이 $t \ge 0$인 모든 실수 $t$에 대해 성립해야 합니다.
$$3t^2 + 2at + 2 \ge 0$$
이차함수 $y = 3t^2 + 2at + 2$의 대칭축은 $t = -\frac{a}{3}$입니다.
- **대칭축이 왼쪽에 있을 때 ($a \ge 0$)**: $t \ge 0$ 영역에서 항상 최소값은 $t=0$일 때의 값인 $2 > 0$이므로 항상 성립합니다.
- **대칭축이 오른쪽에 있을 때 ($a < 0$)**: 최솟값은 꼭짓점인 $t = -\frac{a}{3}$에서 가집니다.
$$\text{최솟값} = 3\left(-\frac{a}{3}\right)^2 + 2a\left(-\frac{a}{3}\right) + 2 = -\frac{a^2}{3} + 2 \ge 0$$
$$a^2 \le 6 \implies -\sqrt{6} \le a < 0$$
두 경우를 종합하면, 실수 $a$의 범위는 **$a \ge -\sqrt{6}$**이 됩니다.
우리가 구하고자 하는 것은 $g(k+1) = g(3) = f(3)$의 최솟값입니다.
$$f(3) = (3-2)^3 + a(3-2)^2 + 2(3-2) + 2 = 1 + a + 2 + 2 = a + 5$$
$a \ge -\sqrt{6}$이므로, $f(3)$의 최솟값은 **$5 - \sqrt{6}$**입니다.
답
정답은 **② $5-\sqrt{6}$** 입니다.
확인해보기
질문: 단계 2에서 $x < 0$일 때, 정적분 부등식 $\int_{0}^{x} g(t)h_1(t)dt \ge 0$이 성립하기 위해서 왜 $g(0) \le 0$이어야 하는지 적분 구간의 방향과 피적분함수의 부호를 고려하여 스스로 설명해 보세요.