어떤 문제인가
이 문제는 로그가 포함된 방정식, 즉 로그방정식을 푸는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 진수 조건: 로그가 정의되기 위해서는 로그의 진수(로그 기호 안의 식)가 반드시 양수여야 합니다. 문제를 풀기 전에 이 범위를 먼저 구하는 것이 가장 중요해요!
- 밑 변환 성질: 로그의 밑이 다르면 계산하기 어렵습니다. 밑을 같게 만들어주기 위해 $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ 성질을 이용해 밑을 통일할 거예요.
- 로그의 성질: 밑이 같은 두 로그의 합은 진수의 곱과 같습니다. 즉, $\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$을 이용해 식을 간단히 만듭니다.
단계별 풀이
1단계: 진수 조건 구하기
로그 문제를 풀 때 가장 먼저 해야 할 일은 진수가 0보다 크다는 조건을 세우는 것입니다. 이 조건을 빠뜨리면 나중에 엉뚱한 답을 고를 수 있어요.
문제에 등장하는 두 로그의 진수는 각각 $x+1$과 $x-3$입니다. 이 두 식 모두 양수여야 하므로,
$$x+1 > 0 \implies x > -1$$
$$x-3 > 0 \implies x > 3$$
이 두 조건을 동시에 만족하는 $x$의 범위는 다음과 같습니다.
$$x > 3 \quad \cdots \text{(ㄱ)}$$
우리가 구하는 최종 답은 반드시 이 범위 안에 있어야 합니다.
2단계: 로그의 밑 통일하기
이제 방정식을 풀어봅시다. 원래 식은 다음과 같습니다.
$$\log_{2}(x+1) - 5 = \log_{\frac{1}{2}}(x-3)$$
좌변의 로그 밑은 $2$이고, 우변의 로그 밑은 $\frac{1}{2}$입니다. 밑을 $2$로 통일해 주는 것이 좋겠네요.
$\frac{1}{2} = 2^{-1}$이므로 우변을 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.
$$\log_{\frac{1}{2}}(x-3) = \log_{2^{-1}}(x-3) = -\log_{2}(x-3)$$
이를 원래 방정식에 대입하면 다음과 같이 정리됩니다.
$$\log_{2}(x+1) - 5 = -\log_{2}(x-3)$$
3단계: 로그끼리 모아서 합치기
로그가 있는 항들을 좌변으로, 상수를 우변으로 모아서 정리해 봅시다. 우변의 $-\log_{2}(x-3)$을 좌변으로 이항하고, 좌변의 $-5$를 우변으로 이항합니다.
$$\log_{2}(x+1) + \log_{2}(x-3) = 5$$
이제 좌변의 두 로그는 밑이 $2$로 같으므로, 로그의 성질($\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$)을 이용해 하나로 합칠 수 있습니다.
$$\log_{2}\{(x+1)(x-3)\} = 5$$
4단계: 지수 형태로 바꾸어 이차방정식 풀기
로그의 정의를 이용하여 로그 식을 지수 식으로 바꾸어 줍니다. $\log_a Y = X \iff a^X = Y$ 이므로,
$$(x+1)(x-3) = 2^5$$
$2^5 = 32$이므로 식을 전개하여 정리해 봅시다.
$$x^2 - 2x - 3 = 32$$
$$x^2 - 2x - 35 = 0$$
이 이차방정식을 인수분해하면 다음과 같습니다.
$$(x-7)(x+5) = 0$$
따라서 구한 $x$의 값은 다음과 같습니다.
$$x = 7 \quad \text{또는} \quad x = -5$$
5단계: 진수 조건과 비교하여 최종 답 구하기
1단계에서 구한 진수 조건 (ㄱ)을 기억하나요? 우리는 $x > 3$인 실수만 답으로 인정할 수 있습니다.
- $x = 7$은 $x > 3$을 만족합니다. (참)
- $x = -5$는 $x > 3$을 만족하지 않습니다. (거짓)
따라서 조건을 만족하는 실수는 $x = 7$ 하나뿐입니다.
답
$$x = 7$$
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 로그방정식 $\log_{3}(x-2) = \log_{\frac{1}{3}}(x-4)$를 풀기 위해 가장 먼저 확인해야 하는 **진수 조건에 따른 $x$의 범위**는 무엇일까요?