어떤 문제인가
이 문제는 미분된 함수인 도함수 $f'(x)$가 주어졌을 때, 원래의 함수 $f(x)$를 찾아내고 특정 값에서의 함숫값 $f(2)$를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 부정적분: 미분의 반대 연산으로, 도함수 $f'(x)$로부터 원래 함수 $f(x)$를 구하는 과정입니다.
- **적분상수 ($C$)**: 부정적분을 할 때 생기는 임의의 상수입니다. 문제에서 주어진 조건 $f(0) = 3$을 이용해 이 상수의 값을 정할 수 있습니다.
단계별 풀이
1. 원래 함수 $f(x)$의 식 세우기 (부정적분)
도함수 $f'(x)$를 적분하면 원래 함수 $f(x)$를 얻을 수 있습니다. 미분해서 $6x^2 + 2$가 되는 함수를 찾기 위해 부정적분을 식을 세워봅시다.
$$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (6x^2 + 2) \, dx$$
다항함수의 적분 공식 $\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$를 적용하여 각 항을 적분합니다.
$$f(x) = 6 \cdot \left(\frac{1}{3}x^3\right) + 2x + C$$
$$f(x) = 2x^3 + 2x + C \quad (\text{단, } C \text{는 적분상수})$$
2. 적분상수 $C$의 값 구하기
우리가 구한 $f(x)$에는 아직 알지 못하는 상수 $C$가 포함되어 있습니다. 문제에서 준 힌트인 $f(0) = 3$을 대입하여 $C$의 값을 구합니다.
$f(x) = 2x^3 + 2x + C$에 $x = 0$을 대입하면,
$$f(0) = 2(0)^3 + 2(0) + C = C$$
문제에서 $f(0) = 3$이라고 했으므로, **$C = 3$**이 됩니다.
따라서 완성된 원래 함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = 2x^3 + 2x + 3$$
3. $f(2)$의 값 계산하기
이제 완성된 함수 $f(x)$에 $x = 2$를 대입하여 최종 구하고자 하는 값을 계산합니다.
$$f(2) = 2(2)^3 + 2(2) + 3$$
$$f(2) = 2(8) + 4 + 3$$
$$f(2) = 16 + 4 + 3 = 23$$
답
$$23$$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다.
> 질문: 함수 $g(x)$에 대하여 도함수가 $g'(x) = 3x^2 - 4x$이고, $g(1) = 2$일 때, 원래 함수 $g(x)$는 무엇일까요? 직접 노트에 적분상수 $C$를 구하는 과정까지 써보며 풀어보세요!