어떤 문제인가
이 문제는 수열의 합을 나타내는 기호인 시그마($\sum$)의 성질과 자연수의 거듭제곱 합 공식을 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **시그마($\sum$)의 기본 성질**: 시그마 기호 안의 더하기, 빼기, 그리고 상수의 곱은 각각 분리해서 계산할 수 있습니다.
- 자연수의 합 공식: $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$
- 자연수의 제곱의 합 공식: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
단계별 풀이
1단계: 시그마의 성질을 이용해 식 분리하기
시그마 기호는 덧셈과 뺄셈에 대해 분배가 가능하고, 변수 $k$와 상관없는 상수($a$나 $10$)는 시그마 앞으로 꺼낼 수 있습니다. 주어진 식을 이 성질을 이용해 나누어 써 봅시다.
$$\sum_{k=1}^{9} (ak^2 - 10k) = 120$$
이 식을 성질에 따라 분리하면 다음과 같이 정리됩니다.
$$a \sum_{k=1}^{9} k^2 - 10 \sum_{k=1}^{9} k = 120$$
이제 우리가 계산해야 할 부분은 $\sum_{k=1}^{9} k^2$과 $\sum_{k=1}^{9} k$ 두 가지입니다.
2단계: 자연수의 거듭제곱 합 공식 적용하기
공식을 사용해 각각의 시그마 값을 구해봅시다. 여기서는 $n=9$입니다.
- **첫 번째, $\sum_{k=1}^{9} k$ 계산하기**
공식 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$에 $n=9$를 대입합니다.
$$\sum_{k=1}^{9} k = \frac{9 \times 10}{2} = 45$$
- **두 번째, $\sum_{k=1}^{9} k^2$ 계산하기**
공식 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$에 $n=9$를 대입합니다.
$$\sum_{k=1}^{9} k^2 = \frac{9 \times 10 \times (2 \times 9 + 1)}{6} = \frac{9 \times 10 \times 19}{6}$$
약분을 해볼까요? $9$와 $6$을 $3$으로 약분하면 분모는 $2$, 분자는 $3$이 되고, 다시 $10$을 $2$로 약분하면 다음과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{9} k^2 = 3 \times 5 \times 19 = 15 \times 19 = 285$$
3단계: 구한 값을 대입하여 상수 $a$ 구하기
이제 1단계에서 정리한 식에 2단계에서 구한 값들을 대입해 봅시다.
$$a \times 285 - 10 \times 45 = 120$$
식을 정리하면,
$$285a - 450 = 120$$
양변에 $450$을 더합니다.
$$285a = 570$$
양변을 $285$로 나누어 $a$의 값을 구합니다. ($570$은 $285$의 정확히 $2$배입니다.)
$$a = \frac{570}{285} = 2$$
답
$$2$$
확인해보기
오늘 배운 공식을 잘 이해했는지 확인해 볼까요?
다음 식의 값을 시그마 공식과 성질을 이용해서 직접 계산해 보세요.
$$\sum_{k=1}^{5} (2k + 3)$$
*(힌트: 상수의 시그마인 $\sum_{k=1}^{n} c$는 $c$를 $n$번 더한다는 뜻이므로 $c \times n$이 됩니다!)*