어떤 문제인가
이 문제는 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 위치, 그리고 운동 방향의 변화 사이의 관계를 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 운동 방향의 변화: 점의 운동 방향이 바뀐다는 것은 속도 $v(t)$의 부호(양수/음수)가 바뀐다는 것을 의미합니다. 즉, $v(t) = 0$이 되는 순간을 찾아야 합니다.
- 위치와 속도의 관계: 시각 $t$에서의 점 $\text{P}$의 위치 $x(t)$는 처음 위치(원점 $0$)에 속도 $v(t)$를 시간 $0$부터 $t$까지 정적분한 값을 더해서 구합니다.
$$x(t) = x(0) + \int_0^t v(s) \, ds$$
단계별 풀이
1단계: 운동 방향이 처음으로 바뀌는 시각 구하기
운동 방향이 바뀌려면 속도 $v(t)$가 $0$이 되면서 그 전후로 부호가 바뀌어야 합니다. 먼저 $0 \le t \le 3$ 구간에서 속도 식을 살펴봅시다.
$$v(t) = -t^2 + t + 2 \quad (0 \le t \le 3)$$
이 식이 $0$이 되는 $t$를 찾기 위해 인수분해를 합니다.
$$-t^2 + t + 2 = -(t^2 - t - 2) = -(t-2)(t+1) = 0$$
$t \ge 0$이므로 가능한 시각은 $t = 2$뿐입니다.
- $0 \le t < 2$ 일 때, $v(t) > 0$ (양의 방향으로 운동)
- $2 < t \le 3$ 일 때, $v(t) < 0$ (음의 방향으로 운동)
따라서, **첫 번째로 운동 방향이 바뀌는 시각은 $t = 2$**입니다.
2단계: 운동 방향이 두 번째로 바뀌는 시각 구하기
문제에서 운동 방향이 두 번째로 바뀌는 시각을 물었습니다. $t > 3$인 구간에서의 속도 식을 봅시다.
$$v(t) = k(t-3) - 4 \quad (t > 3)$$
여기서 $k$는 양수($k > 0$)라고 했습니다. $t=3$일 때 속도는 $v(3) = -4$로 음수입니다.
기울기 $k$가 양수이므로, 이 일차함수 그래프는 오른쪽 위로 올라가는 직선입니다. 즉, 언젠가는 속도가 $0$이 되고 양수로 바뀌게 됩니다.
속도가 $0$이 되는 시각을 $t_2$라고 해봅시다.
$$k(t_2-3) - 4 = 0$$
$$k(t_2-3) = 4$$
$$t_2 - 3 = \frac{4}{k}$$
$$t_2 = 3 + \frac{4}{k}$$
$k > 0$이므로 $t_2 > 3$이 되어 범위에 맞습니다. 이 시각 $t_2$ 전후로 속도가 음수에서 양수로 바뀌므로, **두 번째로 운동 방향이 바뀌는 시각은 $t_2 = 3 + \frac{4}{k}$**입니다.
3단계: 두 번째로 방향이 바뀔 때의 위치 식 세우기
출발할 때 원점($x(0)=0$)에서 시작했으므로, 시각 $t_2$에서의 위치 $x(t_2)$는 다음과 같이 정적분으로 구합니다.
$$x(t_2) = \int_0^{t_2} v(t) \, dt = \int_0^3 v(t) \, dt + \int_3^{t_2} v(t) \, dt$$
계산을 편하게 하기 위해 두 부분으로 나누어 구해보겠습니다.
**① $0$부터 $3$까지의 정적분:**
$$\int_0^3 (-t^2 + t + 2) \, dt = \left[ -\frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t \right]_0^3$$
$$= \left( -9 + \frac{9}{2} + 6 \right) - 0 = -\frac{18}{2} + \frac{9}{2} + \frac{12}{2} = \frac{3}{2}$$
**② $3$부터 $t_2$까지의 정적분:**
이 구간의 속도 그래프는 직선이므로, 정적분 값을 도형의 넓이로 쉽게 구할 수 있습니다.
$t=3$일 때 $v(3) = -4$이고, $t = t_2 = 3 + \frac{4}{k}$일 때 $v(t_2) = 0$입니다.
이 구간에서 $v(t) \le 0$이므로, 정적분 값은 밑변의 길이가 $t_2 - 3 = \frac{4}{k}$이고 높이가 $4$인 직각삼각형 넓이에 마이너스($-$) 부호를 붙인 것과 같습니다.
$$\int_3^{t_2} v(t) \, dt = -\left( \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} \right) = -\left( \frac{1}{2} \times \frac{4}{k} \times 4 \right) = -\frac{8}{k}$$
따라서 시각 $t_2$에서의 위치 $x(t_2)$는 다음과 같습니다.
$$x(t_2) = \frac{3}{2} - \frac{8}{k}$$
4단계: 양수 $k$의 값 구하기
문제에서 이 위치가 $1$이라고 주어졌습니다.
$$\frac{3}{2} - \frac{8}{k} = 1$$
양변을 정리해봅시다.
$$\frac{8}{k} = \frac{3}{2} - 1$$
$$\frac{8}{k} = \frac{1}{2}$$
따라서,
$$k = 16$$
이 값은 문제의 조건인 양수($k > 0$)를 만족합니다.
답
$$16$$
확인해보기
속도가 $v(t) = 0$이 되는 시각이라고 해서 항상 운동 방향이 바뀌는 것은 아닙니다. 운동 방향이 바뀌기 위해 $v(t) = 0$ 외에 추가로 만족해야 하는 조건은 무엇일까요? 그래프의 모양이나 부호의 관점에서 생각해보세요.