어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$에서 특정 값의 극한식을 계산하는 문제입니다. 이 식의 형태를 보고 '미분계수의 정의'를 떠올리는 것이 핵심입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 미분계수의 정의: $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a)$
- 다항함수의 미분법: $y = x^n$을 미분하면 $y' = n x^{n-1}$이 된다는 공식
단계별 풀이
1단계: 구하고자 하는 극한식의 의미 파악하기
문제에서 구하라고 한 식을 다시 한번 살펴볼까요?
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$$
이 식은 미분계수의 정의에 의해 **함수 $f(x)$의 $x=2$에서의 미분계수**, 즉 $f'(2)$를 의미합니다.
따라서 우리는 복잡하게 극한 계산을 다 할 필요 없이, 함수 $f(x)$를 미분한 후 $x=2$를 대입하면 됩니다.
2단계: 함수 $f(x)$ 미분하기 (도함수 $f'(x)$ 구하기)
주어진 함수는 $f(x) = x^2 + x + 2$입니다. 다항함수의 미분 공식을 이용하여 각 항을 미분해 봅시다.
- $x^2$을 미분하면 $2x$가 됩니다.
- $x$를 미분하면 $1$이 됩니다.
- 상수인 $2$를 미분하면 $0$이 됩니다.
이것들을 모두 더하면 도함수 $f'(x)$를 구할 수 있습니다.
$$f'(x) = 2x + 1$$
3단계: $x=2$에서의 미분계수 구하기
우리가 구하고자 하는 값은 $f'(2)$이므로, 방금 구한 도함수 $f'(x) = 2x + 1$에 $x=2$를 대입합니다.
$$f'(2) = 2 \times 2 + 1 = 4 + 1 = 5$$
따라서 구하고자 하는 극한값은 $5$입니다.
답
⑤ $5$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 질문에 답해 보세요.
> 질문: 함수 $g(x) = 2x^2 - 3x$에 대하여 $\lim_{h \to 0} \frac{g(1+h) - g(1)}{h}$의 값은 얼마일까요? (위에서 배운 미분계수의 정의와 미분법을 사용해 보세요!)