어떤 문제인가
이 문제는 주어진 사인 함수 $y = a \sin x + b$의 그래프와 특정 직선들이 만나는 교점의 개수를 다루는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 삼각방정식의 실근과 그래프의 교점: 방정식 $\sin x = k$의 실근의 개수는 $y = \sin x$의 그래프와 직선 $y = k$가 만나는 점의 개수와 같습니다.
- 집합의 합집합과 원소의 개수: 여러 집합의 합집합의 원소 개수를 구할 때는 중복되는 원소(교점)가 있는지 주의 깊게 살펴야 합니다.
- 사인 함수의 성질: 열린구간 $(0, 2\pi)$에서 $y = \sin x$의 그래프가 가질 수 있는 값의 범위와 대칭성을 이해해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 집합 $A, B, C$의 원소가 무엇인지 파악하기
먼저 각 집합이 의미하는 교점들을 식으로 나타내 봅시다.
- **집합 $A$**: $y = a \sin x + b$와 직선 $x = \pi$의 교점입니다.
$x = \pi$를 대입하면 $y = a \sin \pi + b = b$가 됩니다. (단, $\sin \pi = 0$)
따라서 집합 $A$는 항상 단 하나의 점만 가집니다.
$$A = \{(\pi, b)\}$$
즉, $n(A) = 1$입니다.
- **집합 $B$**: $y = a \sin x + b$와 직선 $y = 1$의 교점입니다.
$$a \sin x + b = 1 \implies \sin x = \frac{1-b}{a}$$
이 방정식을 만족하는 $x$값에 대한 점 $(x, 1)$들의 집합입니다.
- **집합 $C$**: $y = a \sin x + b$와 직선 $y = 3$의 교점입니다.
$$a \sin x + b = 3 \implies \sin x = \frac{3-b}{a}$$
이 방정식을 만족하는 $x$값에 대한 점 $(x, 3)$들의 집합입니다.
우리가 원하는 조건은 세 집합의 합집합의 원소 개수가 $3$이 되는 것, 즉 $n(A \cup B \cup C) = 3$이 되는 것입니다.
2단계: $b$의 값에 따라 경우 분류하기
점들의 $y$좌표를 보면 $A$는 $b$, $B$는 $1$, $C$는 $3$입니다. $b$의 값에 따라 교점이 겹칠 수도 있고, 완전히 분리될 수도 있습니다. 자연수 $b \le 5$이므로, $b$의 값에 따라 경우를 나누어 봅시다.
경우 1: $b = 1$인 경우 (점 $A$와 집합 $B$의 $y$좌표가 같을 때)
- $b = 1$이므로 $A = \{(\pi, 1)\}$입니다.
- 집합 $B$는 $\sin x = \frac{1-1}{a} = 0$의 해입니다. 구간 $(0, 2\pi)$에서 $\sin x = 0$을 만족하는 $x$는 $\pi$뿐이므로, $B = \{(\pi, 1)\}$이 되어 $A = B$가 됩니다.
- 집합 $C$는 $\sin x = \frac{3-1}{a} = \frac{2}{a}$의 해입니다.
- $A = B$이므로 $n(A \cup B \cup C) = n(B \cup C)$입니다. $B$의 $y$좌표는 $1$이고 $C$의 $y$좌표는 $3$이므로 두 집합은 서로소(겹치는 원소가 없음)입니다.
$$n(A \cup B \cup C) = n(B) + n(C) = 1 + n(C) = 3 \implies n(C) = 2$$
- 즉, $\sin x = \frac{2}{a}$가 구간 $(0, 2\pi)$에서 서로 다른 2개의 실근을 가져야 합니다.
이것이 가능하려면 $0 < \frac{2}{a} < 1$이어야 하므로 $a > 2$가 됩니다.
$a$는 $5$ 이하의 자연수이므로 가능한 $a$는 $3, 4, 5$입니다.
* **가능한 순서쌍 $(a, b)$**: $(3, 1), (4, 1), (5, 1)$
경우 2: $b = 3$인 경우 (점 $A$와 집합 $C$의 $y$좌표가 같을 때)
- $b = 3$이므로 $A = \{(\pi, 3)\}$입니다.
- 집합 $C$는 $\sin x = \frac{3-3}{a} = 0$의 해이므로, $C = \{(\pi, 3)\} = A$가 됩니다.
- 집합 $B$는 $\sin x = \frac{1-3}{a} = -\frac{2}{a}$의 해입니다.
- 마찬가지로 $A = C$이므로 $n(A \cup B \cup C) = n(B) + n(C) = n(B) + 1 = 3 \implies n(B) = 2$가 되어야 합니다.
- 즉, $\sin x = -\frac{2}{a}$가 서로 다른 2개의 실근을 가져야 하므로 $-1 < -\frac{2}{a} < 0 \implies a > 2$가 됩니다.
* **가능한 순서쌍 $(a, b)$**: $(3, 3), (4, 3), (5, 3)$
경우 3: $b \neq 1$ 이고 $b \neq 3$ 인 경우 ($b \in \{2, 4, 5\}$)
이 경우에는 세 집합 $A, B, C$의 $y$좌표가 모두 다르므로 세 집합은 서로소입니다.
$$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) = 1 + n(B) + n(C) = 3 \implies n(B) + n(C) = 2$$
남은 $b$의 값에 대해 각각 조사해 봅시다.
- **$b = 2$일 때**:
* $B$의 방정식: $\sin x = -\frac{1}{a}$
* $C$의 방정식: $\sin x = \frac{1}{a}$
* $a = 1$이면, $\sin x = -1$ (근 1개), $\sin x = 1$ (근 1개)이므로 $n(B) + n(C) = 1 + 1 = 2$가 되어 조건을 만족합니다. $\implies (1, 2)$ 가능
* $a \ge 2$이면, 두 방정식 모두 서로 다른 2개의 근을 가지므로 $n(B) + n(C) = 2 + 2 = 4 \neq 2$가 되어 불가능합니다.
- **$b = 4$일 때**:
* $B$의 방정식: $\sin x = -\frac{3}{a}$
* $C$의 방정식: $\sin x = -\frac{1}{a}$
* $a = 1$이면, $\sin x = -3$ (근 0개), $\sin x = -1$ (근 1개) $\implies$ 합이 1 (불가능)
* $a = 2$이면, $\sin x = -1.5$ (근 0개), $\sin x = -0.5$ (근 2개) $\implies$ 합이 2 (가능!) $\implies (2, 4)$ 가능
* $a = 3$이면, $\sin x = -1$ (근 1개), $\sin x = -1/3$ (근 2개) $\implies$ 합이 3 (불가능)
* $a \ge 4$이면, 둘 다 2개씩 근을 가짐 $\implies$ 합이 4 (불가능)
- **$b = 5$일 때**:
* $B$의 방정식: $\sin x = -\frac{4}{a}$
* $C$의 방정식: $\sin x = -\frac{2}{a}$
* $a = 3$일 때, $\sin x = -4/3$ (근 0개), $\sin x = -2/3$ (근 2개) $\implies$ 합이 2 (가능!) $\implies (3, 5)$ 가능
* (다른 $a$값들은 대입해 보면 합이 2가 되지 않습니다.)
3단계: $a+b$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$ 구하기
지금까지 구한 모든 가능한 순서쌍 $(a, b)$와 그때의 $a+b$ 값을 정리해 봅시다.
- $(3, 1) \implies a+b = 4$
- $(4, 1) \implies a+b = 5$
- $(5, 1) \implies a+b = 6$
- $(3, 3) \implies a+b = 6$
- $(4, 3) \implies a+b = 7$
- $(5, 3) \implies a+b = 8$
- $(1, 2) \implies a+b = 3$
- $(2, 4) \implies a+b = 6$
- $(3, 5) \implies a+b = 8$
이 값들 중:
- **최댓값 $M$**은 $8$입니다. (순서쌍 $(5, 3)$ 또는 $(3, 5)$ 일 때)
- **최솟값 $m$**은 $3$입니다. (순서쌍 $(1, 2)$ 일 때)
따라서 우리가 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$M \times m = 8 \times 3 = 24$$
답
$$24$$
확인해보기
만약 $b = 3$이고 $a = 2$라면, 집합 $A \cup B \cup C$의 원소의 개수 $n(A \cup B \cup C)$는 몇 개가 될까요? 위 풀이의 경우 2 내용을 참고하여 스스로 구해보세요!