어떤 문제인가
이 문제는 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$의 식을 구하고, 최종적으로 $f(3)$의 값을 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 세 가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 도함수의 부호와 함수의 증감: $f'(x) \le 0$인 구간에서는 함수가 감소하거나 멈추고, $f'(x) > 0$인 구간에서는 함수가 증가합니다.
- 사차함수의 그래프 개형: 극값의 위치와 개수에 따라 사차함수의 그래프가 어떻게 그려지는지 이해해야 합니다.
- 방정식의 실근의 개수와 그래프의 교점: 방정식 $f(x) = k$의 실근의 개수는 함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=k$가 만나는 교점의 개수와 같습니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)를 해석하여 도함수 $f'(x)$의 형태 추론하기
조건 (가)에서 "$f'(a) \le 0$인 실수 $a$의 최댓값은 $2$이다."라고 했습니다.
이 말은 $x > 2$인 모든 실수 $x$에 대해서는 $f'(x) > 0$이어야 하고, $x=2$일 때는 $f'(2) = 0$이어야 한다는 뜻입니다. 즉, $2$보다 큰 영역에서는 함수가 계속 증가만 해야 합니다.
문제에서 $f'(1) = 0$이라고 주어졌으므로, 삼차함수인 도함수 $f'(x) = 0$은 $x=1$과 $x=2$를 실근으로 가집니다. 나머지 한 실근을 $\alpha$라고 합시다.
최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$를 미분한 $f'(x)$의 최고차항 계수는 $4$가 되므로, 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
$$f'(x) = 4(x-1)(x-2)(x-\alpha)$$
여기서 $\alpha$의 범위를 생각해 봅시다. 만약 $\alpha > 2$라면, $2 < x < \alpha$인 구간에서 $f'(x) < 0$이 되어 조건 (가)에 모순됩니다. 따라서 **$\alpha \le 2$**여야 합니다.
2단계: 조건 (나)를 통해 그래프의 개형과 극값 분석하기
조건 (나)에서 "집합 $\{x \mid f(x) = k\}$의 원소의 개수가 $3$ 이상이 되도록 하는 실수 $k$의 최솟값은 $\frac{8}{3}$이다."라고 했습니다. 이는 곡선 $y=f(x)$와 가로 직선 $y=k$가 만나는 교점의 개수가 $3$개 이상이 되는 $k$의 최솟값이 $\frac{8}{3}$이라는 뜻입니다.
사차함수가 교점을 3개 이상 가지려면, 그래프가 'W'자 모양(극솟값 2개, 극댓값 1개)을 가져야 합니다.
이때 두 극솟값 중 더 높은 쪽의 극솟값을 $y = k$가 지날 때 처음으로 교점이 3개가 되며, 그보다 위로 올라가면 교점이 4개 또는 3개가 됩니다.
따라서 **두 극솟값 중 더 큰(높은) 값이 바로 $\frac{8}{3}$**이 되어야 합니다.
이 조건은 세 실근 $\alpha, 1, 2$가 모두 서로 달라야 'W'자 모양이 나오므로, $\alpha < 1$인 경우와 $1 < \alpha < 2$인 경우로 나누어 생각할 수 있습니다. (단, $\alpha \le 2$이므로)
3단계: $f(x)$ 식 구하기
$f(0) = 0$이므로 $f(x)$의 상수항은 $0$입니다. $f'(x)$를 전개하여 적분해 봅시다.
$$f'(x) = 4(x^2 - 3x + 2)(x-\alpha) = 4x^3 - 4(\alpha+3)x^2 + 4(3\alpha+2)x - 8\alpha$$
이를 적분하면 ($f(0)=0$이므로 적분상수는 $0$):
$$f(x) = x^4 - \frac{4}{3}(\alpha+3)x^3 + 2(3\alpha+2)x^2 - 8\alpha x$$
이제 각 극값 후보에서의 함숫값을 구해봅시다.
- **$x=2$에서의 함숫값**:
$$f(2) = 16 - \frac{32}{3}(\alpha+3) + 8(3\alpha+2) - 16\alpha = -\frac{8}{3}\alpha$$
- **$x=1$에서의 함숫값**:
$$f(1) = 1 - \frac{4}{3}(\alpha+3) + 2(3\alpha+2) - 8\alpha = 1 - \frac{10}{3}\alpha$$
이제 두 가지 경우를 나누어 검증합니다.
**경우 1) $\alpha < 1$인 경우**
이 경우 극소점은 $x=\alpha$와 $x=2$에서 갖고, 극대점은 $x=1$에서 갖습니다.
만약 $x=2$에서의 극솟값이 더 큰 극솟값이라면,
$$f(2) = -\frac{8}{3}\alpha = \frac{8}{3} \implies \alpha = -1$$
$\alpha = -1$은 범위 $\alpha < 1$을 만족합니다!
이때 다른 극솟값인 $f(-1)$을 계산해 보면:
$$f(-1) = (-1)^4 - \frac{4}{3}(2)(-1)^3 + 2(-1)^2 - 8(-1)(-1) = 1 + \frac{8}{3} + 2 - 8 = -\frac{19}{3}$$
두 극솟값은 $-\frac{19}{3}$와 $\frac{8}{3}$이므로, 더 큰 극솟값이 $\frac{8}{3}$이 되는 것이 맞습니다. 조건에 완벽히 부합합니다.
**경우 2) $1 < \alpha < 2$인 경우**
이 경우 극소점은 $x=1$과 $x=2$에서 갖습니다.
- $f(2) = \frac{8}{3}$이라 하면 $\alpha = -1$이 되어 범위에 맞지 않습니다.
- $f(1) = \frac{8}{3}$이라 하면 $1 - \frac{10}{3}\alpha = \frac{8}{3} \implies \alpha = -\frac{1}{2}$이 되어 역시 범위에 맞지 않습니다.
따라서 우리가 찾는 사차함수의 식은 $\alpha = -1$일 때입니다.
$$f(x) = x^4 - \frac{8}{3}x^3 - 2x^2 + 8x$$
4단계: $f(3)$의 값 계산하기
구한 식에 $x=3$을 대입합니다.
$$f(3) = 3^4 - \frac{8}{3}(3^3) - 2(3^2) + 8(3)$$
$$f(3) = 81 - 72 - 18 + 24$$
$$f(3) = 15$$
답
$$15$$
확인해보기
사차함수 $g(x)$의 도함수가 $g'(x) = 4(x-1)(x-3)(x-5)$라고 합니다. 이때 곡선 $y=g(x)$와 직선 $y=k$가 만나는 점의 개수가 3개 이상이 되도록 하는 실수 $k$의 최솟값은 $g(1), g(3), g(5)$ 중 어떤 값과 같을까요? (단, 두 극솟값 $g(1)$과 $g(5)$는 서로 다릅니다.)