어떤 문제인가
이 문제는 주어진 귀납적 규칙에 따라 정의된 수열 $\{a_n\}$에서, 15번째 항인 $a_{15} = 1$이 되도록 하는 첫째항 $a_1$의 모든 가능한 값들을 찾고 그 곱을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 수열의 귀납적 정의: 이전 항의 값과 조건에 따라 다음 항이 어떻게 결정되는지 규칙을 파악하는 것입니다.
- 조건에 따른 분류 (경우 분류): $n$이 제곱수(즉, $\sqrt{n}$이 자연수)인지 여부와 $a_n$의 부호에 따라 적용되는 규칙이 달라지므로, 범위를 나누어 꼼꼼하게 따져야 합니다.
- 역추적과 대입: 마지막 조건인 $a_{15} = 1$로부터 거꾸로 추적하거나, 첫째항을 미지수로 두고 단계별로 나아가며 조건을 만족하는 미지수의 값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 첫째항을 미지수로 두고 규칙 분석하기
첫째항을 $a_1 = k$라고 합시다. 문제의 조건에 의해 둘째항은 다음과 같습니다.
$$a_2 = -a_1 = -k$$
이제 $n \ge 2$일 때의 관계식을 살펴봅시다.
$$a_{n+1} = \begin{cases} a_n - \sqrt{n} \times a_{\sqrt{n}} & (\sqrt{n}\text{ 이 자연수이고 } a_n > 0) \\ a_n + 1 & (\text{그 외의 경우}) \end{cases}$$
여기서 $\sqrt{n}$이 자연수가 되는 $n$은 제곱수뿐입니다. 우리가 $a_2$부터 $a_{15}$까지 구하는 과정에서 만나는 제곱수 $n$은 **$4$와 $9$**뿐입니다.
즉, $n$이 $4$와 $9$가 아닐 때는 항상 아래쪽 규칙인 $a_{n+1} = a_n + 1$이 적용되어 항이 $1$씩 커집니다.
2단계: $a_2$부터 $a_4$까지 구하기
$n=2, 3$은 제곱수가 아니므로 항상 $1$씩 더해집니다.
- $a_3 = a_2 + 1 = -k + 1$
- $a_4 = a_3 + 1 = -k + 2$
3단계: $n=4$에서의 첫 번째 갈림길 (경우 1 & 경우 2)
$n=4$는 제곱수이므로 $\sqrt{4} = 2$입니다. 이때는 $a_4$의 부호에 따라 식이 달라집니다.
**경우 1: $a_4 > 0$ 인 경우**
$-k + 2 > 0$ 이므로 **$k < 2$** 일 때입니다.
이때는 위쪽 식을 적용합니다.
$$a_5 = a_4 - \sqrt{4} \times a_{\sqrt{4}} = a_4 - 2a_2$$
$$a_5 = (-k + 2) - 2(-k) = k + 2$$
$n=5, 6, 7, 8$은 제곱수가 아니므로 $a_9$까지 계속 $1$씩 더해집니다.
$$a_9 = a_5 + 4 = (k + 2) + 4 = k + 6$$
**경우 2: $a_4 \le 0$ 인 경우**
$-k + 2 \le 0$ 이므로 **$k \ge 2$** 일 때입니다.
이때는 아래쪽 식을 적용합니다.
$$a_5 = a_4 + 1 = -k + 3$$
마찬가지로 $a_9$까지 $1$씩 더해집니다.
$$a_9 = a_5 + 4 = (-k + 3) + 4 = -k + 7$$
4단계: $n=9$에서의 두 번째 갈림길과 $a_{15} = 1$ 조건 활용하기
$n=9$는 제곱수이므로 $\sqrt{9} = 3$입니다.
또한, $n=10, 11, 12, 13, 14$는 제곱수가 아니므로 $a_{15}$는 $a_{10}$에 $5$를 더한 값입니다.
$$a_{15} = a_{10} + 5$$
우리가 원하는 조건은 $a_{15} = 1$이므로, **$a_{10} = -4$**가 되어야 합니다.
이제 앞서 나눈 두 가지 경우에서 각각 $a_{10} = -4$가 되는 $k$의 값을 찾아봅시다.
**[경우 1] $k < 2$ 일 때 ($a_9 = k + 6$)**
$a_9$의 부호에 따라 다시 두 갈래로 나뉩니다.
- **경우 1-A: $a_9 > 0$ 인 경우 (즉, $-6 < k < 2$)**
위쪽 식을 적용합니다. ($\sqrt{9}=3$)
$$a_{10} = a_9 - 3a_3 = (k + 6) - 3(-k + 1) = 4k + 3$$
우리가 원하는 조건은 $a_{10} = -4$이므로,
$$4k + 3 = -4 \implies 4k = -7 \implies k = -\frac{7}{4}$$
이 값은 범위 $-6 < k < 2$를 만족하므로 유효한 답입니다.
- **경우 1-B: $a_9 \le 0$ 인 경우 (즉, $k \le -6$)**
아래쪽 식을 적용합니다.
$$a_{10} = a_9 + 1 = (k + 6) + 1 = k + 7$$
$$k + 7 = -4 \implies k = -11$$
이 값은 범위 $k \le -6$을 만족하므로 유효한 답입니다.
**[경우 2] $k \ge 2$ 일 때 ($a_9 = -k + 7$)**
마찬가지로 $a_9$의 부호에 따라 나뉩니다.
- **경우 2-A: $a_9 > 0$ 인 경우 (즉, $2 \le k < 7$)**
위쪽 식을 적용합니다.
$$a_{10} = a_9 - 3a_3 = (-k + 7) - 3(-k + 1) = 2k + 4$$
$$2k + 4 = -4 \implies 2k = -8 \implies k = -4$$
하지만 이 값은 범위 $2 \le k < 7$에 맞지 않으므로 모순입니다. (탈락)
- **경우 2-B: $a_9 \le 0$ 인 경우 (즉, $k \ge 7$)**
아래쪽 식을 적용합니다.
$$a_{10} = a_9 + 1 = (-k + 7) + 1 = -k + 8$$
$$-k + 8 = -4 \implies k = 12$$
이 값은 범위 $k \ge 7$을 만족하므로 유효한 답입니다.
5단계: 모든 $a_1$의 값의 곱 구하기
구한 모든 가능한 $a_1$($=k$)의 값은 $-\frac{7}{4}$, $-11$, $12$입니다.
이 값들의 곱을 구하면 다음과 같습니다.
$$\left(-\frac{7}{4}\right) \times (-11) \times 12 = \frac{77}{4} \times 12 = 77 \times 3 = 231$$
답
$$231$$
확인해보기
위 풀이에서 구한 값 중 하나인 $a_1 = 12$일 때, 실제로 규칙을 따라 $a_4$와 $a_5$를 직접 계산해 보세요. 이때 $a_4$의 부호는 무엇이며, 그에 따라 어떤 규칙이 적용되었나요?