어떤 문제인가
이 문제는 수열의 합을 나타내는 기호인 **시그마($\sum$)의 성질**을 잘 이해하고 있는지 묻는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 시그마의 분배법칙: $\sum (A_k + B_k) = \sum A_k + \sum B_k$ 처럼 더해진 식을 각각 나누어 계산할 수 있습니다.
- 상수의 시그마 계산: $\sum_{k=1}^{n} c = c \times n$ (상수 $c$를 $n$번 더하면 $cn$이 됩니다.)
- 수열의 합의 쪼개기: 1항부터 6항까지의 합은 1항부터 5항까지의 합에 6번째 항을 더한 것과 같습니다. 즉, $\sum_{k=1}^{6} a_k = \sum_{k=1}^{5} a_k + a_6$ 입니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 조건식 정리하기
문제에서 주어진 첫 번째 조건은 $\sum_{k=1}^{5} (a_k + 1) = 9$입니다.
우리가 필요한 것은 $a_k$들의 합이므로, 시그마의 성질을 이용해 괄호를 풀어서 정리해 봅시다.
$$\sum_{k=1}^{5} (a_k + 1) = \sum_{k=1}^{5} a_k + \sum_{k=1}^{5} 1 = 9$$
여기서 $\sum_{k=1}^{5} 1$은 숫자 $1$을 $5$번 더하라는 뜻이므로 $1 \times 5 = 5$가 됩니다. 이 값을 대입해 볼까요?
$$\sum_{k=1}^{5} a_k + 5 = 9$$
양변에서 $5$를 빼면, 1항부터 5항까지의 합을 구할 수 있습니다.
$$\sum_{k=1}^{5} a_k = 4$$
2단계: 구하고자 하는 값 계산하기
우리가 구해야 하는 값은 $\sum_{k=1}^{6} a_k$입니다.
이 값은 1항부터 6항까지의 합인데, 우리는 이미 1항부터 5항까지의 합($\sum_{k=1}^{5} a_k = 4$)을 알고 있고, 문제에서 6번째 항($a_6 = 4$)도 알려주었습니다.
따라서 식을 다음과 같이 나누어 쓸 수 있습니다.
$$\sum_{k=1}^{6} a_k = \sum_{k=1}^{5} a_k + a_6$$
이제 우리가 구한 값들을 대입해 봅시다.
$$\sum_{k=1}^{6} a_k = 4 + 4 = 8$$
답
③ $8$
확인해보기
오늘 배운 시그마의 성질을 잘 이해했는지 스스로 확인해 보세요!
> [질문]
> 수열 $\{b_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{4} (b_k - 2) = 10$이고 $b_5 = 5$일 때, $\sum_{k=1}^{5} b_k$의 값은 얼마일까요?
> *(힌트: 상수 $-2$를 4번 더하면 어떻게 되는지 먼저 계산해 보세요!)*