어떤 문제인가
이 문제는 함수의 그래프를 보고 특정 지점에서의 우극한과 좌극한을 구하여 그 합을 계산하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **우극한 ($\lim_{x \to a+} f(x)$)**: $x$가 $a$보다 큰 값을 가지면서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함숫값 $f(x)$가 가까워지는 값(목적지)입니다. 그래프에서는 **$a$의 오른쪽에서 선을 따라 $a$를 향해 갈 때의 $y$값**을 읽으면 됩니다.
- **좌극한 ($\lim_{x \to a-} f(x)$)**: $x$가 $a$보다 작은 값을 가지면서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함숫값 $f(x)$가 가까워지는 값입니다. 그래프에서는 **$a$의 왼쪽에서 선을 따라 $a$를 향해 갈 때의 $y$값**을 읽으면 됩니다.
- 극한값과 함숫값의 차이: 극한값은 그 지점에서의 실제 값(색칠된 점)이 아니라, 그래프가 어디를 향해 가고 있는지(목적지)를 묻는 것입니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 항 $\lim_{x \to 0+} f(x)$ 구하기
이 식은 $x$가 $0$의 오른쪽(우극한)에서 $0$을 향해 갈 때, 그래프가 어떤 $y$값에 가까워지는지 묻고 있습니다.
- 그래프에서 $x$가 $0$보다 큰 영역($0 < x < 1$)을 보세요. 이 영역의 그래프는 점 $(0, 2)$와 점 $(1, 1)$을 잇는 직선입니다.
- 이 선을 따라 오른쪽에서 왼쪽($x=0$을 향해)으로 쭉 따라가 봅시다.
- $x$가 $0$에 한없이 가까워질 때, 연필 끝이 가리키는 $y$값은 **$2$**를 향해 갑니다.
- 이때 $x=0$에서 실제 함숫값은 $(0, 3)$에 칠해진 점이므로 $f(0)=3$이지만, 극한값은 목적지만 보기 때문에 $3$이 아니라 $2$가 됩니다.
따라서,
$$\lim_{x \to 0+} f(x) = 2$$
2단계: 두 번째 항 $\lim_{x \to 1-} f(x)$ 구하기
이 식은 $x$가 $1$의 왼쪽(좌극한)에서 $1$을 향해 갈 때, 그래프가 어떤 $y$값에 가까워지는지 묻고 있습니다.
- 그래프에서 $x$가 $1$보다 작은 영역($0 < x < 1$)을 보세요. 마찬가지로 점 $(0, 2)$와 점 $(1, 1)$을 잇는 직선입니다.
- 이 선을 따라 왼쪽에서 오른쪽($x=1$을 향해)으로 쭉 따라가 봅시다.
- $x$가 $1$에 한없이 가까워질 때, 연필 끝이 가리키는 $y$값은 **$1$**을 향해 갑니다.
따라서,
$$\lim_{x \to 1-} f(x) = 1$$
3단계: 두 극한값 더하기
이제 구한 두 값을 더해줍니다.
$$\lim_{x \to 0+} f(x) + \lim_{x \to 1-} f(x) = 2 + 1 = 3$$
답
**③ $3$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> [질문] 위 문제의 그래프에서 $\lim_{x \to 1+} f(x) + f(0)$의 값은 무엇일까요?
> *(힌트: $x \to 1+$는 $1$의 우극한을, $f(0)$은 $x=0$에서의 실제 함숫값(칠해진 점)을 의미합니다.)*