어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$를 구한 뒤, $x=1$에서의 미분계수인 $f'(1)$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 곱의 미분법: 두 식의 곱으로 이루어진 함수 $y = g(x)h(x)$를 미분할 때는 다음과 같은 공식을 사용합니다.
$$(g(x)h(x))' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$$
- 다항함수의 미분: $x^n$을 미분하면 $n x^{n-1}$이 되고, 상수를 미분하면 $0$이 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 곱의 미분법 공식 적용하기
주어진 함수 $f(x) = (x^2 - 1)(x^2 + 2x + 2)$는 두 다항식의 곱으로 이루어져 있습니다.
편의상 앞의 식을 $g(x) = x^2 - 1$, 뒤의 식을 $h(x) = x^2 + 2x + 2$라고 생각하고 곱의 미분법을 적용해 봅시다.
$$f'(x) = (x^2 - 1)'(x^2 + 2x + 2) + (x^2 - 1)(x^2 + 2x + 2)'$$
2단계: 각각의 식 미분하기
이제 곱해진 두 식을 각각 미분해 봅시다.
- 앞의 식 미분: $(x^2 - 1)' = 2x$
- 뒤의 식 미분: $(x^2 + 2x + 2)' = 2x + 2$
이 결과를 원래 식에 대입하면 도함수 $f'(x)$를 구할 수 있습니다.
$$f'(x) = 2x(x^2 + 2x + 2) + (x^2 - 1)(2x + 2)$$
> 풀이 팁!
> 시험을 볼 때는 이 식을 굳이 다 전개해서 정리할 필요가 없어요. 우리가 구하고 싶은 것은 $f'(1)$이라는 '특정 값'이기 때문에, 이 상태에서 바로 $x=1$을 대입하는 것이 훨씬 빠르고 실수를 줄일 수 있답니다.
3단계: $x=1$ 대입하여 계산하기
이제 $f'(x)$ 식의 $x$ 자리에 $1$을 대입해 봅시다.
$$f'(1) = 2(1) \cdot (1^2 + 2(1) + 2) + (1^2 - 1) \cdot (2(1) + 2)$$
각 괄호 안을 계산해 볼까요?
- 앞부분: $2 \cdot (1 + 2 + 2) = 2 \cdot 5 = 10$
- 뒷부분: $(1 - 1) \cdot (2 + 2) = 0 \cdot 4 = 0$
따라서,
$$f'(1) = 10 + 0 = 10$$
답
⑤ $10$
확인해보기
오늘 배운 곱의 미분법을 잘 이해했는지 스스로 확인해 봅시다.
> 질문: 함수 $g(x) = (x^2 - 3)(2x + 1)$ 일 때, 곱의 미분법을 이용하여 $g'(1)$의 값을 구해 보세요.