어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각함수 식을 단순화하고, 각의 범위를 통해 삼각함수의 부호를 결정하여 원하는 삼각함수의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요:
- 삼각함수의 각 변환 공식: $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$ 와 삼각함수의 음각 공식 $\sin(-x) = -\sin x$ 이해하기
- 사분면에 따른 삼각함수의 부호: 각 $\theta$가 몇 사분면에 있는지에 따라 $\sin, \cos, \tan$의 부호가 어떻게 달라지는지 알기 (올-싸-탄-코!)
- 삼각함수의 기본 성질: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 관계식 활용하기
단계별 풀이
1단계: 복잡한 각을 가진 삼각함수 식 정리하기
먼저 문제에서 주어진 식 $\sin\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{5}$를 우리가 다루기 쉬운 $\theta$에 대한 식으로 바꾸어 봅시다.
괄호 안의 식에서 마이너스($-$) 부호를 앞으로 묶어내면 다음과 같이 쓸 수 있어요.
$$\sin\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(-\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right)$$
사인 함수는 기함수(원점 대칭)이므로 $\sin(-x) = -\sin x$가 성립합니다. 따라서 위 식은 다음과 같이 바뀝니다.
$$\sin\left(-\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$$
여기에 각 변환 공식 $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$를 적용하면 다음과 같이 아주 간단해집니다.
$$-\cos\theta = \frac{3}{5}$$
양변에 $-1$을 곱하면 코사인 값을 구할 수 있습니다.
$$\cos\theta = -\frac{3}{5}$$
2단계: $\theta$의 범위를 보고 $\sin\theta$의 부호 결정하기
문제에서 $\theta$의 범위가 다음과 같이 주어졌습니다.
$$\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$$
이 범위는 좌표평면에서 제3사분면에 해당합니다.
제3사분면에서는 **탄젠트($\tan$)만 양수(+)**이고, 사인($\sin$)과 코사인($\cos$)은 모두 **음수($-$)**입니다.
따라서 우리가 구하고자 하는 $\sin\theta$의 부호는 **음수($-$)**가 되어야 합니다.
$$\sin\theta < 0$$
3단계: 삼각함수 사이의 관계식을 이용해 $\sin\theta$ 값 구하기
이제 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 공식을 사용해 봅시다. 이 식에 우리가 구한 $\cos\theta = -\frac{3}{5}$를 대입합니다.
$$\sin^2\theta + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1$$
$$\sin^2\theta + \frac{9}{25} = 1$$
$$\sin^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$
제곱근을 구하면 $\sin\theta = \pm\frac{4}{5}$가 되는데, 2단계에서 $\sin\theta$는 음수여야 함을 확인했으므로 최종 답은 다음과 같습니다.
$$\sin\theta = -\frac{4}{5}$$
답
정답은 **① $-\frac{4}{5}$** 입니다.
확인해보기
위 풀이 과정을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문:
위 문제와 동일한 조건($\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$ 이고 $\cos\theta = -\frac{3}{5}$)일 때, $\tan\theta$의 값은 얼마일까요? (힌트: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 이며, 제3사분면에서 탄젠트의 부호를 고려해 보세요.)