어떤 문제인가
이 문제는 삼차방정식의 실근의 개수가 주어졌을 때, 미정계수 $k$의 값을 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 방정식의 실근과 함수의 그래프: 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수는 함수 $y = f(x)$의 그래프가 $x$축($y=0$)과 만나는 서로 다른 교점의 개수와 같습니다.
- 도함수를 이용한 그래프의 개형과 극값: 삼차함수의 그래프가 $x$축과 서로 다른 두 점에서 만나려면, 함수의 **극댓값 또는 극솟값 중 하나가 $0$**이 되어 그래프가 $x$축에 접해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 정의하고 미분하기
먼저 주어진 방정식의 좌변을 하나의 함수 $f(x)$로 놓겠습니다.
$$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k$$
이 함수의 그래프가 어떻게 그려지는지 알아보기 위해, 미분을 통해 접선의 기울기가 $0$이 되는 점(그 값이 변하는 후보인 극점)을 찾습니다.
$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$$
이 도함수를 인수분해해 볼까요?
$$f'(x) = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$$
$f'(x) = 0$이 되는 $x$의 값은 $x = -1$ 또는 $x = 3$입니다.
2단계: 극대와 극소 위치 파악하기
삼차항의 계수가 $1$(양수)이므로, 함수 $y=f(x)$의 그래프는 오른쪽 위로 올라가는 모양입니다. 따라서 증가와 감소를 표나 머릿속으로 그려보면 다음과 같습니다.
- $x < -1$ 일 때: $f'(x) > 0$ (증가)
- $-1 < x < 3$ 일 때: $f'(x) < 0$ (감소)
- $x > 3$ 일 때: $f'(x) > 0$ (증가)
즉, 이 함수는 **$x = -1$에서 극댓값을 갖고, $x = 3$에서 극솟값**을 가집니다.
3단계: 실근의 개수가 2개가 되는 조건 이해하기
삼차함수의 그래프가 $x$축과 서로 다른 두 점에서 만나려면 그래프가 어떻게 그려져야 할까요?
그래프가 $x$축을 통과하면서 동시에 어느 한 곳에서는 $x$축에 접해야만 교점이 딱 2개가 됩니다.
이것은 다음 두 가지 경우 중 하나를 만족해야 함을 뜻합니다.
- 경우 1: 극댓값이 $0$이어서 $x$축에 접할 때 ($f(-1) = 0$)
- 경우 2: 극솟값이 $0$이어서 $x$축에 접할 때 ($f(3) = 0$)
4단계: $k$의 값 구하고 합산하기
이제 두 가지 경우에 대해 각각 $k$의 값을 구해봅시다.
- **경우 1) $f(-1) = 0$ 인 경우**
$$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + k = 0$$
$$-1 - 3 + 9 + k = 0$$
$$5 + k = 0 \implies k = -5$$
- **경우 2) $f(3) = 0$ 인 경우**
$$f(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + k = 0$$
$$27 - 27 - 27 + k = 0$$
$$-27 + k = 0 \implies k = 27$$
따라서 조건을 만족하는 모든 실수 $k$의 값은 $-5$와 $27$입니다.
이 값들의 합을 구하면 다음과 같습니다.
$$-5 + 27 = 22$$
답
**④ $22$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
> 질문: 만약 문제에서 방정식 $x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0$이 서로 다른 3개의 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 범위를 구하라고 한다면, 극댓값과 극솟값의 부호는 각각 어떻게 되어야 할까요? (힌트: 그래프가 $x$축을 세 번 통과하려면 극댓값과 극솟값 사이에 $x$축이 지나가야 합니다.)