어떤 문제인가
이 문제는 등비수열의 성질을 이용하여 특정 항들의 합을 구하는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 머릿속에 넣어두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 등비수열의 정의와 일반항: 등비수열은 첫째항부터 차례대로 일정한 수(공비, $r$)를 곱해서 만든 수열입니다. 일반항은 $a_n = a_1 r^{n-1}$로 나타냅니다.
- 공비의 부호 파악하기: 조건 $a_1 a_2 < 0$을 통해 공비 $r$의 부호가 양수인지 음수인지 알아낼 수 있습니다.
- 항 사이의 관계 활용하기: 모든 항을 첫째항 $a_1$으로 돌려서 생각하기보다, 이미 알고 있는 항인 $a_6$을 기준으로 다른 항들을 표현하면 계산이 훨씬 간단해집니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 $a_1 a_2 < 0$을 통해 공비 $r$의 부호 구하기
등비수열 $\{a_n\}$의 공비를 $r$이라고 합시다. 그러면 두 번째 항은 $a_2 = a_1 r$로 쓸 수 있습니다.
이것을 조건식에 대입해 볼까요?
$$a_1 a_2 = a_1 (a_1 r) = a_1^2 r < 0$$
실수의 제곱인 $a_1^2$은 항상 양수입니다 (첫째항이 $0$이면 수열의 모든 항이 $0$이 되어 $a_6 = 16$이라는 조건에 모순되므로 $a_1 \neq 0$입니다).
따라서 양수에 $r$을 곱해서 음수가 되었으므로, 공비 $r$은 음수여야 합니다.
$$\therefore r < 0$$
2단계: $a_6 = 16$을 기준으로 $a_7$과 $a_8$ 표현하기
우리는 $a_6 = 16$이라는 값을 알고 있습니다. 등비수열의 성질을 이용하면 $a_7$과 $a_8$을 $a_6$과 공비 $r$을 사용해 다음과 같이 아주 간단하게 나타낼 수 있습니다.
- $a_7 = a_6 \cdot r = 16r$
- $a_8 = a_6 \cdot r^2 = 16r^2$
3단계: 주어진 방정식으로 공비 $r$ 구하기
이제 문제에서 준 방정식 $2a_8 - 3a_7 = 32$에 위에서 구한 식들을 대입해 봅시다.
$$2(16r^2) - 3(16r) = 32$$
양변을 정리하면 다음과 같습니다.
$$32r^2 - 48r = 32$$
양변을 $16$으로 나누어 방정식을 간단하게 만듭니다.
$$2r^2 - 3r = 2$$
$$2r^2 - 3r - 2 = 0$$
이 이차방정식을 인수분해해 봅시다.
$$(2r + 1)(r - 2) = 0$$
따라서 $r = -\frac{1}{2}$ 또는 $r = 2$가 나옵니다.
하지만 1단계에서 우리는 공비가 음수($r < 0$)여야 함을 밝혀냈습니다.
그러므로 공비는 다음과 같습니다.
$$r = -\frac{1}{2}$$
4단계: 구하고자 하는 $a_9 + a_{11}$ 계산하기
우리가 구해야 하는 값은 $a_9 + a_{11}$입니다. 이 항들도 이미 알고 있는 $a_6 = 16$과 공비 $r = -\frac{1}{2}$을 이용해 표현해 봅시다.
- $a_9 = a_6 \cdot r^3 = 16 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = 16 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) = -2$
- $a_{11} = a_6 \cdot r^5 = 16 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^5 = 16 \cdot \left(-\frac{1}{32}\right) = -\frac{1}{2}$
이제 두 값을 더해줍니다.
$$a_9 + a_{11} = -2 + \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{5}{2}$$
답
**① $-\frac{5}{2}$**
확인해보기
만약 문제의 조건이 $a_1 a_2 < 0$이 아니라, **$a_1 a_2 > 0$**으로 바뀌었다면 $a_9 + a_{11}$의 값은 어떻게 변했을지 스스로 계산해 보세요.