어떤 문제인가
이 문제는 주어진 구간별 함수 $f(x)$를 이용하여 만든 새로운 함수 $(f(x) + a)^2$이 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 $a$의 값을 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 함수의 연속성: 함수가 어떤 점에서 연속이려면 그 점에서의 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 합니다.
- 구간별 함수의 극한: $x = 0$을 기준으로 함수가 다르게 정의되어 있으므로, $x=0$에서의 좌극한과 우극한을 각각 구해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 문제가 발생하는 지점 찾기
함수 $f(x)$를 보면 $x < 0$일 때 일차함수($x - \frac{1}{2}$)이고, $x \ge 0$일 때 이차함수($-x^2 + 3$)입니다. 일차함수와 이차함수는 각각의 구간에서 항상 연속입니다.
따라서 함수 $f(x)$가 끊어질 가능성이 있는 유일한 지점은 식의 정의가 바뀌는 **$x = 0$**뿐입니다.
결국, 새로운 함수 $g(x) = (f(x) + a)^2$이 실수 전체에서 연속이 되려면 **$x = 0$에서 연속**이기만 하면 됩니다.
2단계: $x = 0$에서 $f(x)$의 좌극한, 우극한, 함숫값 구하기
먼저 $x=0$ 근처에서 $f(x)$가 어떻게 행동하는지 알아봅시다.
- **좌극한 ($x \to 0^-$)**: $x$가 $0$보다 작은 쪽에서 가까워지므로 $f(x) = x - \frac{1}{2}$을 사용합니다.
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$$
- **우극한 ($x \to 0^+$) 및 함숫값 ($f(0)$)**: $x$가 $0$보다 크거나 같은 쪽에서 가까워지므로 $f(x) = -x^2 + 3$을 사용합니다.
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = -0^2 + 3 = 3$$
3단계: $g(x) = (f(x) + a)^2$의 연속 조건 세우기
이제 함수 $g(x) = (f(x) + a)^2$이 $x=0$에서 연속이 되기 위한 식을 세워봅시다. 연속이려면 $g(x)$의 $x=0$에서의 좌극한과 우극한(및 함숫값)이 같아야 합니다.
- **$g(x)$의 좌극한**:
$$\lim_{x \to 0^-} (f(x) + a)^2 = \left( -\frac{1}{2} + a \right)^2$$
- **$g(x)$의 우극한 및 함숫값**:
$$\lim_{x \to 0^+} (f(x) + a)^2 = g(0) = (3 + a)^2$$
이 두 값이 서로 같아야 하므로, 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있습니다:
$$\left( a - \frac{1}{2} \right)^2 = (a + 3)^2$$
4단계: 방정식 풀어 $a$ 구하기
위에서 세운 방정식을 풀어봅시다. 양변을 전개해 볼까요?
$$a^2 - a + \frac{1}{4} = a^2 + 6a + 9$$
양변에서 똑같이 있는 $a^2$을 지워줍니다.
$$-a + \frac{1}{4} = 6a + 9$$
$a$가 있는 항을 우변으로, 상수를 좌변으로 모아서 정리합니다.
$$\frac{1}{4} - 9 = 7a$$
좌변을 통분하여 계산합니다.
$$\frac{1}{4} - \frac{36}{4} = 7a$$
$$-\frac{35}{4} = 7a$$
양변을 $7$로 나누면 우리가 구하고자 하는 $a$의 값이 나옵니다.
$$a = -\frac{5}{4}$$
답
**③ $-\frac{5}{4}$**
확인해보기
공부한 내용을 바탕으로 다음 질문에 스스로 답해 보세요.
> 함수 $h(x) = \begin{cases} x + 3 & (x < 1) \\ -x + k & (x \ge 1) \end{cases}$ 가 $x=1$에서 연속이 되려면 상수 $k$의 값은 얼마가 되어야 할까요?