어떤 문제인가
이 문제는 주어진 벡터 방정식을 정리하여 미지수 $k$의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 벡터의 분배법칙: 수의 연산처럼 벡터에서도 실수배를 괄호 안에 분배할 수 있습니다. 즉, $m(\vec{a} + \vec{b}) = m\vec{a} + m\vec{b}$ 입니다.
- 동류항 정리: 같은 벡터(예: $\vec{a}$는 $\vec{a}$끼리, $\vec{b}$는 $\vec{b}$끼리)를 가진 항들끼리 모아서 덧셈과 뺄셈을 계산합니다. 마치 문자 $x, y$를 계산하는 것과 같습니다.
단계별 풀이
1단계: 좌변의 괄호 풀기
먼저 주어진 식의 좌변인 $\vec{a} + 3(\vec{a} - \vec{b})$를 정리해 봅시다.
괄호 앞에 곱해진 $3$을 분배법칙을 이용해 괄호 안의 벡터들에 각각 곱해줍니다.
$$3(\vec{a} - \vec{b}) = 3\vec{a} - 3\vec{b}$$
이 식을 원래 좌변에 대입하면 다음과 같이 정리됩니다.
$$\vec{a} + 3\vec{a} - 3\vec{b}$$
2단계: 같은 벡터끼리 모아서 정리하기
이제 $\vec{a}$가 들어있는 항끼리 더해줍니다. $\vec{a}$ 앞의 계수는 $1$이 생략된 것이므로, $1\vec{a} + 3\vec{a}$를 계산하면 됩니다.
$$\vec{a} + 3\vec{a} - 3\vec{b} = (1 + 3)\vec{a} - 3\vec{b} = 4\vec{a} - 3\vec{b}$$
이로써 좌변을 가장 간단하게 정리했습니다.
3단계: 우변과 비교하여 $k$ 값 구하기
이제 정리한 좌변과 원래 문제의 우변을 비교해 봅시다.
$$\text{좌변} = 4\vec{a} - 3\vec{b}$$
$$\text{우변} = k\vec{a} - 3\vec{b}$$
두 식이 서로 같아야 하므로, $\vec{a}$ 앞의 계수도 서로 같아야 합니다.
따라서 다음과 같은 결론을 얻을 수 있습니다.
$$4 = k$$
즉, $k = 4$ 입니다.
답
④ $4$
확인해보기
배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 질문에 답해 보세요. (답은 스스로 생각해 보세요!)
> 두 벡터 $\vec{a}, \vec{b}$에 대하여 다음 식이 성립할 때, 실수 $p$의 값은 얼마일까요?
> $$2(\vec{a} + 2\vec{b}) - \vec{b} = 2\vec{a} + p\vec{b}$$