어떤 문제인가
이 문제는 타원 위의 한 점이 주어졌을 때, 그 점에서의 접선의 방정식을 구하고, 그 접선이 $y$축과 만나는 점인 **$y$절편**을 찾는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 아래의 3가지 핵심 개념을 차근차근 적용해 볼 거예요.
- 대입을 통한 미지수 구하기: 타원 위의 점은 타원의 방정식을 만족합니다.
- 타원의 접선 공식: 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$ 입니다.
- **$y$절편의 정의**: 직선의 방정식에서 $x = 0$일 때의 $y$값입니다.
단계별 풀이
1단계: 타원의 방정식 완성하기 ($b^2$ 구하기)
점 $(3, \sqrt{5})$는 타원 $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점입니다. 따라서 이 점의 좌표를 타원의 방정식에 대입하면 식이 성립해야 합니다.
$x = 3$, $y = \sqrt{5}$를 대입해 봅시다.
$$\frac{3^2}{18} + \frac{(\sqrt{5})^2}{b^2} = 1$$
계산하면 다음과 같습니다.
$$\frac{9}{18} + \frac{5}{b^2} = 1$$
$$\frac{1}{2} + \frac{5}{b^2} = 1$$
양변에서 $\frac{1}{2}$을 빼줍니다.
$$\frac{5}{b^2} = \frac{1}{2}$$
따라서 대각선으로 곱해주면 $b^2$의 값을 구할 수 있습니다.
$$b^2 = 10$$
이제 우리가 가진 타원의 방정식은 $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{10} = 1$이 되었습니다.
2단계: 접선의 방정식 구하기
타원 $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{10} = 1$ 위의 점 $(3, \sqrt{5})$에서의 접선의 방정식을 구해봅시다.
접선 공식 $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$에 $x_1 = 3$, $y_1 = \sqrt{5}$, $a^2 = 18$, $b^2 = 10$을 대입합니다.
$$\frac{3x}{18} + \frac{\sqrt{5}y}{10} = 1$$
약분하여 정리하면 다음과 같습니다.
$$\frac{x}{6} + \frac{\sqrt{5}y}{10} = 1$$
3단계: 접선의 $y$절편 구하기
$y$절편은 직선이 $y$축과 만나는 점이므로, $x = 0$을 대입했을 때의 $y$값입니다.
위에서 구한 접선의 방정식에 $x = 0$을 대입해 봅시다.
$$\frac{0}{6} + \frac{\sqrt{5}y}{10} = 1$$
$$\frac{\sqrt{5}y}{10} = 1$$
양변에 $10$을 곱합니다.
$$\sqrt{5}y = 10$$
양변을 $\sqrt{5}$로 나눕니다.
$$y = \frac{10}{\sqrt{5}}$$
분모를 유리화하기 위해 분모와 분자에 각각 $\sqrt{5}$를 곱해줍니다.
$$y = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$$
따라서 구하고자 하는 접선의 $y$절편은 $2\sqrt{5}$입니다.
답
② $2\sqrt{5}$
확인해보기
오늘 배운 공식을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 타원 $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$ 위의 점 $(2, 1)$에서의 접선의 $y$절편은 얼마일까요? (직접 공식을 대입해서 풀어보세요!)