어떤 문제인가
이 문제는 벡터의 연산과 기하학적 의미(도형에서의 의미)를 결합하여 해결하는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 머릿속에 넣어두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 벡터의 뺄셈과 두 점 사이의 거리: 두 위치벡터 $\vec{p}$, $\vec{a}$에 대하여 $|\vec{p} - \vec{a}|$는 점 $P$와 점 $A$ 사이의 거리를 뜻합니다.
- 원의 벡터 방정식: 정점 $A$에 대하여 $|\vec{p} - \vec{a}| = r$ (일정한 값)을 만족하는 점 $P$의 자취는 **중심이 $A$이고 반지름이 $r$인 원**입니다.
- 원 밖의 한 점과 원 위의 점 사이의 거리의 최솟값: 원 밖의 점 $B$에서 원 위의 점 $P$까지 거리의 최솟값은 **(원의 중심 $A$에서 점 $B$까지의 거리) - (원의 반지름)**으로 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 벡터 $\vec{b}$의 크기 구하기
조건식 $|\vec{p} - \vec{a}| = |\vec{b}|$에서 우변에 있는 $|\vec{b}|$의 값을 먼저 구해봅시다. 벡터의 크기는 성분의 제곱합에 루트를 씌워 구합니다.
$$\vec{b} = (1, -1)$$
이므로, 벡터 $\vec{b}$의 크기는 다음과 같습니다.
$$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$
2단계: 조건식 $|\vec{p} - \vec{a}| = |\vec{b}|$의 기하학적 의미 이해하기
이제 조건식을 다시 써보면 다음과 같습니다.
$$|\vec{p} - \vec{a}| = \sqrt{2}$$
- 점 $P$의 위치벡터를 $\vec{p}$, 점 $A(-3, 3)$의 위치벡터를 $\vec{a}$라고 합시다.
- 이 식은 **"점 $P$에서 점 $A$까지의 거리가 항상 $\sqrt{2}$로 일정하다"**라는 뜻입니다.
- 따라서 점 $P$가 그리는 도형은 **중심이 $A(-3, 3)$이고 반지름 $R = \sqrt{2}$인 원**이 됩니다.
3단계: 구하고자 하는 값 $|\vec{p} - \vec{b}|$의 의미 파악하기
우리가 구해야 하는 것은 $|\vec{p} - \vec{b}|$의 최솟값입니다.
- 점 $B(1, -1)$의 위치벡터를 $\vec{b}$라고 하면, 이 식은 **"원 위의 점 $P$와 원 밖의 점 $B$ 사이의 거리"**를 의미합니다.
4단계: 최솟값 계산하기
원 위의 점 $P$와 원 밖의 점 $B$ 사이의 거리가 최소가 되려면, 점 $P$가 원의 중심 $A$와 점 $B$를 잇는 선분 위에 있어야 합니다.
즉, 구하고자 하는 최솟값은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
$$\text{최솟값} = (\text{중심 } A\text{와 점 } B \text{ 사이의 거리}) - (\text{원의 반지름 } R)$$
먼저 두 점 $A(-3, 3)$과 $B(1, -1)$ 사이의 거리 $d$를 구합니다.
$$d = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-1 - 3)^2}$$
$$d = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$
이제 이 거리에서 원의 반지름 $R = \sqrt{2}$를 빼줍니다.
$$\text{최솟값} = d - R = 4\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$
답
④ $3\sqrt{2}$
확인해보기
배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해봅시다.
> 질문: 위 문제와 동일한 조건에서, $|\vec{p} - \vec{b}|$의 최댓값은 얼마일까요? 최솟값을 구할 때와 어떤 차이가 있는지 생각해보며 답을 구해보세요.