어떤 문제인가
이 문제는 쌍곡선의 성질을 이해하고, 주어진 조건들을 활용해 미지수 $a, b, c$의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 쌍곡선의 점근선: 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$의 점근선의 방정식은 $y = \pm \frac{b}{a}x$입니다.
- 초점과 주축의 관계: 쌍곡선에서 초점 $F(c, 0)$에 대해 $c^2 = a^2 + b^2$이 성립합니다.
- 쌍곡선 위의 점: $y$축에 평행하고 초점 $F(c, 0)$을 지나는 직선의 방정식은 $x = c$입니다. 이 직선과 쌍곡선이 만나는 교점의 좌표를 구해 길이를 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 점근선의 방정식으로 $a$와 $b$의 관계 구하기
쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$의 점근선의 방정식은 $y = \pm \frac{b}{a}x$입니다.
문제에서 한 점근선의 방정식이 $y = x$라고 했고, $a$와 $b$는 양수이므로 다음이 성립합니다.
$$\frac{b}{a} = 1 \implies a = b$$
2단계: 초점 $c$를 $a$로 나타내기
쌍곡선의 초점 공식 $c^2 = a^2 + b^2$에 1단계에서 구한 $b = a$를 대입해 봅시다.
$$c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$
$c > 0, a > 0$이므로 양변에 루트를 씌우면 다음과 같습니다.
$$c = \sqrt{2}a$$
3단계: 교점 $\text{P}$, $\text{Q}$의 좌표 구하기
초점 $\text{F}(c, 0)$을 지나고 $y$축에 평행한 직선의 방정식은 $x = c$입니다.
이 직선이 쌍곡선과 만나는 점의 $y$좌표를 구하기 위해, 쌍곡선 방정식에 $x = c$ (즉, $x = \sqrt{2}a$)와 $b = a$를 대입해 봅시다.
$$\frac{(\sqrt{2}a)^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$$
$$\frac{2a^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$$
$$2 - \frac{y^2}{a^2} = 1$$
$$\frac{y^2}{a^2} = 1 \implies y^2 = a^2$$
따라서 $y = \pm a$가 됩니다.
이것은 두 교점의 좌표가 각각 $\text{P}(c, a)$와 $\text{Q}(c, -a)$임을 의미합니다.
4단계: 선분 $\overline{\text{PQ}}$의 길이를 이용해 $a, b, c$ 구하기
두 점 $\text{P}$와 $\text{Q}$의 $x$좌표가 같으므로, 선분 $\overline{\text{PQ}}$의 길이는 두 $y$좌표의 차이입니다.
$$\overline{\text{PQ}} = a - (-a) = 2a$$
문제에서 $\overline{\text{PQ}} = 8$이라고 주어졌으므로,
$$2a = 8 \implies a = 4$$
$a = b$이므로 $b = 4$입니다.
또한, 2단계에서 구한 식에 대입하면,
$$c^2 = 2a^2 = 2 \times 4^2 = 32$$
5단계: 최종 값 계산하기
우리가 구하고자 하는 값은 $a^2 + b^2 + c^2$입니다. 각각의 값을 대입해 봅시다.
$$a^2 = 4^2 = 16$$
$$b^2 = 4^2 = 16$$
$$c^2 = 32$$
따라서,
$$a^2 + b^2 + c^2 = 16 + 16 + 32 = 64$$
답
③ $64$
확인해보기
만약 이 문제에서 점근선의 방정식이 $y = x$가 아니라 $y = 2x$로 주어졌다면, $a$와 $b$ 사이에는 어떤 관계식($b = ?a$)이 성립할지 스스로 생각해 보세요!