어떤 문제인가
이 문제는 이차곡선(타원과 포물선)의 정의와 성질을 이해하고, 이를 좌표평면에 나타내어 해결하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 포물선의 정의: 포물선 위의 한 점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리는 같습니다.
- 타원의 성질: 타원의 장축, 단축, 초점 사이의 관계식($a^2 = b^2 + c^2$)을 활용합니다.
- 좌표평면의 활용: 도형을 좌표평면 위에 대칭적으로 올려놓으면 복잡한 기하 문제를 대수적으로 쉽게 풀 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 도형을 좌표평면에 올려놓고 좌표 설정하기
도형의 대칭성을 이용하기 위해, 직사각형의 중심(타원의 중심)을 원점 $O(0,0)$으로 잡습니다.
- 타원의 장축이 $x$축 위에 있고 단축이 $y$축 위에 있으므로, 타원의 방정식을 다음과 같이 놓을 수 있습니다.
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)$$
- 이때 타원의 네 꼭짓점은 다음과 같습니다.
$$P(-a, 0), \quad R(a, 0), \quad Q(0, -b), \quad S(0, b)$$
- 직사각형 $ABCD$의 네 변의 중점이 $P, Q, R, S$이므로, 직사각형의 꼭짓점의 좌표는 다음과 같이 나타납니다.
$$A(-a, b), \quad B(-a, -b), \quad C(a, -b), \quad D(a, b)$$
- 따라서 직사각형의 가로 길이는 $2a$, 세로 길이는 $2b$가 됩니다. 직사각형의 넓이가 $32\sqrt{2}$이므로 식을 세울 수 있습니다.
$$\text{넓이} = 2a \times 2b = 4ab = 32\sqrt{2} \implies ab = 8\sqrt{2} \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
2단계: 타원의 초점과 포물선의 준선 표시하기
- 타원의 두 초점을 $F(c, 0)$, $F'(-c, 0)$이라 합시다. (단, $c > 0$)
타원의 성질에 의해 다음 관계가 성립합니다.
$$a^2 = b^2 + c^2 \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
- 문제에서 포물선의 초점은 $F(c, 0)$이고, 준선은 직선 $AB$입니다. 직선 $AB$의 방정식은 $x = -a$입니다.
3단계: 포물선의 정의 적용하기
포물선의 정의에 의해, **"포물선 위의 임의의 점에서 초점 $F$까지의 거리"와 "준선 $x = -a$까지의 거리"**는 같습니다.
포물선이 점 $F'(-c, 0)$을 지나므로, 점 $F'$에서 초점 $F$까지의 거리와 준선까지의 거리가 같아야 합니다.
- **초점 $F(c,0)$까지의 거리**:
$$F'F = 2c$$
- **준선 $x = -a$까지의 거리**:
점 $F'(-c, 0)$에서 직선 $x = -a$까지의 거리는 $-c - (-a) = a - c$입니다. (그림에서 준선이 $F'$보다 왼쪽에 있으므로 $a > c$입니다.)
두 거리가 같으므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$2c = a - c \implies a = 3c \quad \cdots \text{ (식 3)}$$
4단계: $a, b, c$ 사이의 관계식 완성하기
(식 3)에서 구한 $a = 3c$를 (식 2)인 $a^2 = b^2 + c^2$에 대입해 봅시다.
$$(3c)^2 = b^2 + c^2$$
$$9c^2 = b^2 + c^2 \implies b^2 = 8c^2$$
$b > 0, c > 0$이므로 양변에 루트를 씌우면 다음과 같습니다.
$$b = 2\sqrt{2}c \quad \cdots \text{ (식 4)}$$
*(참고: 포물선이 점 $S(0, b)$를 지난다는 성질을 이용해 $\sqrt{c^2+b^2} = a$ 식을 세워도 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.)*
5단계: 넓이 조건을 이용해 $c$ 구하기
이제 (식 3)과 (식 4)를 처음 구했던 넓이 공식인 (식 1) $ab = 8\sqrt{2}$에 대입합니다.
$$(3c) \times (2\sqrt{2}c) = 8\sqrt{2}$$
$$6\sqrt{2}c^2 = 8\sqrt{2}$$
양변을 $6\sqrt{2}$로 나누면:
$$c^2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$
$$c = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$
6단계: 선분 $FF'$의 길이 구하기
우리가 구하고자 하는 선분 $FF'$의 길이는 두 초점 사이의 거리이므로 $2c$입니다.
$$FF' = 2c = 2 \times \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{4}{3}\sqrt{3}$$
답
**② $\frac{4}{3}\sqrt{3}$**
확인해보기
포물선이 점 $S(0, b)$를 지난다는 성질과 포물선의 정의를 결합하여, **"점 $S$에서 초점 $F$까지의 거리"**가 왜 $a$가 되는지 기하학적(또는 수식적)으로 설명해 보세요.