안녕하세요! 수학과 물리를 가르치는 선생님입니다.
오늘 함께 풀어볼 문제는 벡터의 연산과 도형의 기하학적 성질을 융합한 아주 멋진 문제입니다. 복잡해 보이는 벡터 식을 기하학적으로 단순화하는 과정이 이 문제의 핵심이에요. 차근차근 단계를 밟아가며 스스로 이해할 수 있도록 도와줄게요!
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 벡터 조건을 만족하는 두 점 $\mathrm{P, Q}$의 위치를 찾고, 두 점 사이의 거리 $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$가 최소가 될 때의 벡터 내적 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 벡터의 분해와 단순화: 복잡한 벡터 식을 시점을 통일하여 간단하게 나타내기
- 원과 직선의 기하학적 성질: 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다는 성질
- 원 밖의 점(또는 안의 점)과 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값과 최솟값
단계별 풀이
1단계: 복잡한 벡터 조건식 단순화하기
가장 먼저 해결해야 할 실타래는 바로 이 조건식입니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{QA}} + \overrightarrow{\mathrm{QP}}) = 0$$
이 식을 시점을 원점 $\mathrm{O}$로 통일하여 정리해 봅시다. 위치벡터를 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{QA}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} - \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$$
$$\overrightarrow{\mathrm{QP}} = \overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$$
이 두 식을 더하면 다음과 같습니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{QA}} + \overrightarrow{\mathrm{QP}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OP}} - 2\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$$
이제 원래의 내적 식에 대입해 볼까요?
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OP}} - 2\overrightarrow{\mathrm{OQ}}) = 0$$
여기서 $\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}}$이므로, 식을 전개해 봅시다.
$$(\overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}}) \cdot (\overrightarrow{\mathrm{OP}} + \overrightarrow{\mathrm{OA}}) - 2\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = 0$$
합차 공식처럼 전개하면 앞부분은 다음과 같이 정리됩니다.
$$(|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2 - |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2) - 2\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = 0$$
그런데 문제에서 점 $\mathrm{A}$는 $(1,0)$이므로 $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 1$이고, 점 $\mathrm{P}$ 역시 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}| = 1$을 만족하므로 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2 - |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2 = 1 - 1 = 0$이 됩니다!
따라서 아주 복잡해 보였던 식은 다음과 같이 엄청나게 간단해집니다.
$$-2\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = 0 \quad \implies \quad \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = 0$$
2단계: 기하학적 의미 해석하기
방금 구한 $\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = 0$은 무슨 뜻일까요?
바로 **선분 $\mathrm{AP}$와 선분 $\mathrm{OQ}$가 서로 수직**이라는 뜻입니다.
- 점 $\mathrm{A}(1,0)$와 점 $\mathrm{P}$는 모두 원점 $\mathrm{O}$를 중심으로 하는 단위원 위의 점입니다. 즉, 선분 $\mathrm{AP}$는 이 원의 현입니다.
- 원의 중심 $\mathrm{O}$를 지나면서 현 $\mathrm{AP}$에 수직인 직선은 **현 $\mathrm{AP}$를 수직이등분**합니다.
- 따라서 직선 $\mathrm{OQ}$는 선분 $\mathrm{AP}$의 수직이등분선이 됩니다.
수직이등분선 위의 임의의 점은 선분의 양 끝점까지의 거리가 같습니다. 즉, 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{AP}$의 수직이등분선 위에 있으므로 다음이 성립합니다.
$$\mathrm{QA} = \mathrm{QP} \quad \implies \quad |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| = |\overrightarrow{\mathrm{QA}}|$$
3단계: $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$의 최솟값 구하기
우리는 $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$의 값을 최소로 만들고 싶습니다. 2단계의 결과에 의해 이는 **$|\overrightarrow{\mathrm{QA}}|$의 값을 최소**로 만드는 것과 같습니다.
- 점 $\mathrm{Q}$는 중심이 $\mathrm{B}(1,1)$이고 반지름이 $3$인 원 위의 점입니다.
- 점 $\mathrm{A}(1,0)$에서 이 원 위의 점 $\mathrm{Q}$까지의 거리의 최솟값을 구해야 합니다.
- 점 $\mathrm{A}$와 원의 중심 $\mathrm{B}$ 사이의 거리는 다음과 같습니다.
$$\mathrm{AB} = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2} = 1$$
- 원의 반지름이 $3$이므로, 점 $\mathrm{A}$는 원 내부의 점입니다. 따라서 점 $\mathrm{A}$에서 원 위의 점 $\mathrm{Q}$까지의 최솟값은 (반지름) - (중심과의 거리)가 됩니다.
$$\text{최솟값} = 3 - 1 = 2$$
이 최솟값은 점 $\mathrm{Q}$가 직선 $\mathrm{AB}$ 위에 있으면서 $\mathrm{A}$ 쪽에 있을 때 발생합니다.
- $\mathrm{A}(1,0)$, $\mathrm{B}(1,1)$이므로 직선 $\mathrm{AB}$는 $x=1$인 세로선입니다.
- 따라서 최솟값을 갖는 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\mathrm{B}(1,1)$에서 아래로 $3$만큼 내려간 **$\mathrm{Q}(1, -2)$**가 됩니다.
4단계: 점 $\mathrm{P}$의 좌표 구하고 최종 내적 값 계산하기
이제 $\mathrm{Q}(1, -2)$일 때의 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 구해봅시다.
- $\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = (1, -2)$이므로, $\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = 0$에 의해 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$는 $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$와 수직입니다.
- 직선 $\mathrm{OQ}$의 기울기가 $-2$이므로, 직선 $\mathrm{AP}$의 기울기는 $\frac{1}{2}$이어야 합니다.
- 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $(x_1, y_1)$이라 하면, $\mathrm{A}(1,0)$이므로 직선 $\mathrm{AP}$의 기울기는 다음과 같습니다.
$$\frac{y_1}{x_1 - 1} = \frac{1}{2} \quad \implies \quad x_1 = 2y_1 + 1$$
- 점 $\mathrm{P}$는 단위원 위의 점이므로 $x_1^2 + y_1^2 = 1$을 만족합니다. 대입해 봅시다.
$$(2y_1 + 1)^2 + y_1^2 = 1 \quad \implies \quad 5y_1^2 + 4y_1 = 0 \quad \implies \quad y_1(5y_1 + 4) = 0$$
- 문제 조건에서 $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}| > 0$이므로 $\mathrm{P} \neq \mathrm{A}$입니다. 즉, $y_1 \neq 0$이므로 $y_1 = -\frac{4}{5}$입니다.
- 이때 $x_1 = 2\left(-\frac{4}{5}\right) + 1 = -\frac{3}{5}$입니다.
- 따라서 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 **$\mathrm{P}\left(-\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}\right)$**입니다.
이제 마지막으로 구하고자 하는 내적 값 $\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$를 계산해 봅시다.
- $\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \left(-\frac{3}{5} - 1, -\frac{4}{5} - 0\right) = \left(-\frac{8}{5}, -\frac{4}{5}\right)$
- $\overrightarrow{\mathrm{BQ}} = (1 - 1, -2 - 1) = (0, -3)$
두 벡터를 내적하면:
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}} = \left(-\frac{8}{5}\right) \times 0 + \left(-\frac{4}{5}\right) \times (-3) = \frac{12}{5}$$
답
정답은 **③ $\frac{12}{5}$** 입니다.
확인해보기
1단계에서 우리는 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}| = |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 1$이라는 성질을 이용하여 식을 아주 간단하게 줄였습니다.
만약 점 $\mathrm{A}$가 $(2,0)$이고, 점 $\mathrm{P}$가 반지름이 $2$인 원 $x^2+y^2=4$ 위의 점이라면, 조건식 $\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{QA}} + \overrightarrow{\mathrm{QP}}) = 0$은 어떻게 정리될까요? 직접 식을 전개해 보며 확인해 보세요!