어떤 문제인가
이 문제는 절댓값 기호가 포함된 곡선의 방정식을 범위를 나누어 분석하고, 그 안에서 타원과 쌍곡선이라는 두 가지 이차곡선을 찾아내는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 타원의 정의: 평면 위의 두 정점(초점)으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합 ($PF_1 + PF_2 = 2a$)
- 쌍곡선의 정의: 평면 위의 두 정점(초점)으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 집합 ($|PF_1 - PF_2| = 2b$)
- 이차곡선의 표준형과 초점의 좌표 구하기
이 개념들을 가지고 단계별로 문제를 해결해 봅시다!
단계별 풀이
1단계: $y$의 범위에 따라 곡선의 방정식 나누기
주어진 곡선의 방정식 $|y^2 - 1| = \frac{x^2}{a^2}$은 절댓값 기호가 있으므로, $y^2 - 1$의 부호에 따라 두 가지 경우로 나누어 생각해야 합니다.
- **경우 1: $|y| \le 1$ 일 때 (즉, $y^2 - 1 \le 0$)**
절댓값 안의 식에 마이너스를 붙여서 나옵니다.
$$-(y^2 - 1) = \frac{x^2}{a^2} \implies \frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1$$
이것은 중심이 원점이고, $x$축 방향의 반지름이 $a$, $y$축 방향의 반지름이 $1$인 타원의 방정식입니다.
- **경우 2: $|y| > 1$ 일 때 (즉, $y^2 - 1 > 0$)**
절댓값 안의 식이 그대로 나옵니다.
$$y^2 - 1 = \frac{x^2}{a^2} \implies y^2 - \frac{x^2}{a^2} = 1$$
이것은 주축이 $y$축 위에 있는 쌍곡선의 방정식입니다.
2단계: 타원의 성질을 이용하여 $a$와 $c$ 구하기
문제에서 "$y$좌표의 절댓값이 $1$보다 작거나 같은 모든 점 $\mathrm{P}$"라고 했습니다. 이 점 $\mathrm{P}$는 바로 위에서 구한 타원 위의 점입니다.
타원 위의 모든 점 $\mathrm{P}$에 대하여 다음이 성립합니다.
$$\overline{\mathrm{PC}} + \overline{\mathrm{PD}} = \sqrt{5}$$
두 점 $\mathrm{C}(c, 0)$와 $\mathrm{D}(-c, 0)$는 $x$축 대칭인 점이므로, 타원의 정의에 의해 이 두 점은 타원의 초점이 됩니다.
타원 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 합은 장축의 길이($2a$)와 같으므로 다음과 식을 세울 수 있습니다.
$$2a = \sqrt{5} \implies a = \frac{\sqrt{5}}{2}$$
이제 초점의 좌표 $c$를 구하기 위해 타원의 성질($b^2 = a^2 - c^2$ 꼴)을 이용합니다. 여기서 $y$축 방향의 반지름 $b = 1$이므로,
$$c^2 = a^2 - 1^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - 1 = \frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4}$$
$c > 0$이므로, $c = \frac{1}{2}$입니다.
3단계: 점 $\mathrm{Q}$의 위치 파악하고 쌍곡선의 초점 연결하기
이제 점 $\mathrm{A}(0, c+1)$와 $\mathrm{B}(0, -c-1)$의 좌표를 구해보면, $c = \frac{1}{2}$이므로 다음과 같습니다.
$$\mathrm{A}\left(0, \frac{3}{2}\right), \quad \mathrm{B}\left(0, -\frac{3}{2}\right)$$
점 $\mathrm{Q}$는 제1사분면에 있는 곡선 위의 점이고, $\overline{\mathrm{AQ}} = 10$입니다.
만약 $\mathrm{Q}$가 타원($|y| \le 1$) 위에 있다면, $\mathrm{A}\left(0, \frac{3}{2}\right)$로부터의 거리가 $10$만큼 멀어질 수 없습니다. (타원 위의 점은 $y$좌표가 아무리 작아도 $-1$이므로, $\mathrm{A}$와의 거리는 최대 $2.5$를 넘지 못합니다.)
따라서 점 $\mathrm{Q}$는 쌍곡선 $y^2 - \frac{x^2}{a^2} = 1$ 위에 있습니다.
이 쌍곡선의 방정식을 다시 쓰면 다음과 같습니다.
$$y^2 - \frac{x^2}{5/4} = 1$$
이 쌍곡선의 초점의 $y$좌표를 $c'$라고 하면, 쌍곡선의 성질에 의해 다음이 성립합니다.
$$(c')^2 = 1^2 + a^2 = 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4} \implies c' = \frac{3}{2} \quad (\because c' > 0)$$
놀랍게도 쌍곡선의 초점은 $\left(0, \frac{3}{2}\right)$과 $\left(0, -\frac{3}{2}\right)$으로, 문제에서 주어진 **두 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$가 바로 이 쌍곡선의 초점**이 됩니다!
4단계: 쌍곡선의 정의로 삼각형의 둘레 구하기
점 $\mathrm{Q}$는 쌍곡선 위의 점이고, $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$는 쌍곡선의 초점입니다.
쌍곡선의 정의에 의해, 쌍곡선 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 차는 주축의 길이($2b = 2 \times 1 = 2$)와 같습니다.
$$|\overline{\mathrm{BQ}} - \overline{\mathrm{AQ}}| = 2$$
점 $\mathrm{Q}$는 제1사분면(즉, $y > 0$인 영역)에 있으므로, 위쪽 초점인 $\mathrm{A}$보다 아래쪽 초점인 $\mathrm{B}$에서 더 멉니다. 따라서,
$$\overline{\mathrm{BQ}} - \overline{\mathrm{AQ}} = 2$$
$$\overline{\mathrm{BQ}} = \overline{\mathrm{AQ}} + 2 = 10 + 2 = 12$$
우리가 구하고자 하는 삼각형 $\mathrm{ABQ}$의 둘레의 길이는 다음과 같습니다.
$$\text{둘레의 길이} = \overline{\mathrm{AB}} + \overline{\mathrm{AQ}} + \overline{\mathrm{BQ}}$$
각 선분의 길이를 대입하면,
- $\overline{\mathrm{AB}} = \frac{3}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right) = 3$
- $\overline{\mathrm{AQ}} = 10$
- $\overline{\mathrm{BQ}} = 12$
$$\text{둘레의 길이} = 3 + 10 + 12 = 25$$
답
$$25$$
확인해보기
질문: 풀이의 3단계에서 "점 $\mathrm{Q}$가 타원 위에 있다면 $\overline{\mathrm{AQ}}$의 길이는 최대 $2.5$를 넘지 못한다"라고 설명했습니다. 타원 $\frac{x^2}{5/4} + y^2 = 1$ 위의 임의의 점 $\mathrm{P}(x, y)$에 대하여, 점 $\mathrm{A}\left(0, \frac{3}{2}\right)$와 점 $\mathrm{P}$ 사이의 거리 $\overline{\mathrm{AP}}$의 최댓값이 실제로 $2.5\left(=\frac{5}{2}\right)$가 되는지 식을 세워 직접 확인해 보세요.