안녕하세요! 수학을 함께 쉽고 재미있게 풀어볼게요.
이 문제는 쌍곡선의 성질, 벡터의 내분점 표현, 그리고 원의 성질이 아름답게 결합된 고난도 문항입니다. 하지만 한 단계씩 개념을 적용하면 아주 명쾌하게 풀 수 있어요. 준비되었나요? 시작해 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건을 만족하는 점 $Q$의 자취(움직이는 경로)를 찾고, 고정된 점 $A$로부터 점 $Q$까지의 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다.
우리가 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 쌍곡선의 정의: 쌍곡선 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 차는 주축의 길이($2a$)로 일정합니다.
- 벡터의 내분점 공식: 벡터 식 $\vec{q} = \frac{m\vec{p} + n\vec{f}}{m+n}$ 꼴은 점 $Q$가 선분 $FP$를 내분하는 점임을 나타냅니다.
- 원의 성질: 한 고정된 점(원 중심)으로부터 일정한 거리에 있는 점들의 자취는 원이 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 쌍곡선의 정의를 이용해 선분의 길이 표현하기
먼저 문제에서 주어진 쌍곡선의 정보를 정리해 봅시다.
- 초점: $F(5, 0)$, $F'(-5, 0)$
- 주축의 길이: $2a = 6$
쌍곡선의 정의에 의해, 쌍곡선 위의 임의의 점 $P$에 대해 두 초점까지의 거리의 차는 주축의 길이인 $6$으로 일정합니다.
$$|\overline{PF'} - \overline{PF}| = 6$$
문제에서 $\overline{PF} < \overline{PF'}$라고 했으므로, 절대값을 벗기면 다음과 같습니다.
$$\overline{PF'} - \overline{PF} = 6$$
여기서 계산을 편하게 하기 위해 $\overline{PF} = r$ ($r > 0$)이라고 두겠습니다. 그러면 $\overline{PF'}$의 길이는 다음과 같이 표현됩니다.
$$\overline{PF'} = r + 6$$
2단계: 벡터 식을 해석하여 점 $Q$의 위치 알아내기
이제 문제에 주어진 벡터 식을 살펴봅시다.
$$(|\overline{FP}| + 1)\overrightarrow{\mathrm{F}'\mathrm{Q}} = 5\overrightarrow{\mathrm{QP}}$$
위에서 $|\overline{FP}| = \overline{PF} = r$이라고 두었으므로, 식을 다시 쓰면 다음과 같습니다.
$$(r + 1)\overrightarrow{\mathrm{F}'\mathrm{Q}} = 5\overrightarrow{\mathrm{QP}}$$
이 식을 시점을 원점 $O$로 하는 위치벡터로 나타내어 점 $Q$의 위치벡터 $\vec{q}$에 대해 정리해 봅시다. (편의상 각 점의 위치벡터를 소문자 $\vec{f'}, \vec{q}, \vec{p}$로 나타냅니다.)
$$(r + 1)(\vec{q} - \vec{f'}) = 5(\vec{p} - \vec{q})$$
괄호를 풀고 $\vec{q}$에 대해 정리해 볼까요?
$$(r + 1)\vec{q} - (r + 1)\vec{f'} = 5\vec{p} - 5\vec{q}$$
$$(r + 6)\vec{q} = 5\vec{p} + (r + 1)\vec{f'}$$
$$\vec{q} = \frac{5\vec{p} + (r + 1)\vec{f'}}{r + 6}$$
분모의 $r+6$은 분자의 계수인 $5$와 $r+1$의 합과 같습니다! 즉, 이 식은 **선분 $F'P$를 $5 : (r+1)$로 내분하는 점이 바로 $Q$**라는 것을 의미합니다.
점 $Q$가 선분 $F'P$ 위에 있으므로, 선분 $F'Q$의 길이를 직접 구해볼 수 있습니다.
$$\overline{F'Q} = \overline{F'P} \times \frac{5}{5 + (r+1)}$$
그런데 1단계에서 $\overline{F'P} = r+6$임을 구했었죠? 이를 대입하면 놀라운 결과가 나옵니다.
$$\overline{F'Q} = (r+6) \times \frac{5}{r+6} = 5$$
$r$의 값에 상관없이 **$\overline{F'Q}$의 길이는 항상 $5$로 일정**합니다!
3단계: 점 $Q$의 자취와 범위 파악하기
$\overline{F'Q} = 5$라는 것은 점 $Q$가 **점 $F'(-5, 0)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $5$인 원** 위에 존재한다는 뜻입니다. 이 원의 방정식은 다음과 같습니다.
$$(x+5)^2 + y^2 = 25$$
하지만 점 $Q$가 이 원 전체를 다 움직일 수 있을까요? 점 $P$가 쌍곡선 위의 점이므로 제한 조건이 있습니다.
쌍곡선 $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$의 점근선의 방정식은 $y = \pm \frac{4}{3}x$입니다.
점 $P$가 쌍곡선의 오른쪽 가지를 따라 무한히 멀어질 때, 직선 $F'P$의 기울기는 점근선의 기울기인 $\pm \frac{4}{3}$에 한없이 가까워집니다.
따라서 직선 $F'Q$의 기울기 $m$의 범위는 다음과 같이 제한됩니다.
$$-\frac{4}{3} < m < \frac{4}{3}$$
즉, 점 $Q$는 원 $(x+5)^2 + y^2 = 25$ 중에서 기울기가 $-\frac{4}{3}$와 $\frac{4}{3}$ 사이인 영역(오른쪽 반원 부근의 호)만 움직일 수 있습니다.
4단계: $|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|$의 최댓값 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 점 $A(-9, -3)$에서 점 $Q$까지의 거리의 최댓값입니다.
먼저 점 $A(-9, -3)$와 원의 중심 $F'(-5, 0)$ 사이의 거리를 구해봅시다.
$$\overline{AF'} = \sqrt{(-9 - (-5))^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = 5$$
놀랍게도 점 $A$ 역시 이 원 위의 점입니다!
원 위의 한 점 $A$에서 원 위의 다른 점 $Q$까지의 거리가 최대가 되는 순간은 바로 **선분 $AQ$가 원의 지름이 될 때**입니다.
즉, 최댓값은 원의 지름의 길이인 $2 \times 5 = 10$이 됩니다.
마지막으로, $AQ$가 지름이 되도록 하는 점 $Q$(즉, $A$의 원점 대칭점 또는 중심 대칭점)가 실제로 점 $Q$가 움직일 수 있는 범위(기울기 제한) 안에 있는지 확인해야 합니다.
점 $A(-9, -3)$에 대해 중심 $F'(-5, 0)$에 대칭인 점 $Q$의 좌표를 구해보면,
$$Q = 2F' - A = 2(-5, 0) - (-9, -3) = (-1, 3)$$
이때 직선 $F'Q$의 기울기는 다음과 같습니다.
$$m = \frac{3 - 0}{-1 - (-5)} = \frac{3}{4}$$
이 기울기는 $-\frac{4}{3} < \frac{3}{4} < \frac{4}{3}$ 범위를 만족하므로, 실제로 점 $Q$가 존재할 수 있는 영역에 위치합니다.
따라서 거리의 최댓값은 지름의 길이와 같습니다.
답
$$10$$
확인해보기
질문:
만약 문제의 다른 조건은 모두 같고, 벡터 식만 다음과 같이 바뀌었다고 해봅시다.
$$(|\overline{FP}| + 3)\overrightarrow{\mathrm{F}'\mathrm{Q}} = 5\overrightarrow{\mathrm{QP}}$$
그리고 쌍곡선의 주축의 길이가 $6$이 아니라 $4$라고 한다면, 이때 선분 $F'Q$의 길이는 얼마로 일정하게 유지될까요? (위의 1단계와 2단계 풀이 과정을 참고하여 스스로 계산해 보세요!)