어떤 문제인가
이 문제는 주어진 네 개의 숫자 $1, 1, 2, 3$을 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
여기서 주목해야 할 점은 나열하려는 숫자 중에 **같은 숫자($1$)가 2개 포함되어 있다**는 사실입니다. 이 문제를 풀기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- **순열 ($n!$)**: 서로 다른 $n$개를 일렬로 나열하는 방법의 수
- 같은 것이 있는 순열: 나열하는 대상 중에 똑같은 것이 섞여 있을 때, 중복되는 경우의 수를 나누어 진짜 경우의 수를 구하는 방법
단계별 풀이
1단계: 네 숫자가 모두 다르다고 가정하고 나열해 보기
먼저, 두 개의 숫자 $1$이 서로 다른 숫자라고 가정해 봅시다. 편의상 하나는 $1_a$, 다른 하나는 $1_b$라고 이름 붙여서 $1_a, 1_b, 2, 3$이라는 서로 다른 네 숫자를 나열한다고 생각하는 것이죠.
서로 다른 4개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $4!$ (4 팩토리얼)로 계산합니다.
$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\text{ (가지)}$$
2단계: 중복되는 경우 찾아내기
하지만 실제로는 $1_a$와 $1_b$는 구분할 수 없는 똑같은 숫자 $1$입니다.
예를 들어, 1단계에서 구한 24가지 중에는 아래의 두 경우가 서로 다른 것으로 계산되어 있습니다.
- $(1_a, 1_b, 2, 3)$
- $(1_b, 1_a, 2, 3)$
하지만 실제로는 둘 다 똑같이 $(1, 1, 2, 3)$일 뿐이지요.
즉, 똑같은 숫자 $1$ 두 개가 자기들끼리 자리를 바꾸는 방법의 수인 $2!$만큼 중복해서 세어진 것입니다.
$$2! = 2 \times 1 = 2\text{ (가지)}$$
3단계: 중복을 나누어 진짜 경우의 수 구하기
전체 경우의 수에서 중복되는 만큼 나누어 주면 우리가 원하는 진짜 경우의 수를 얻을 수 있습니다.
$$\text{경우의 수} = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12\text{ (가지)}$$
따라서 네 개의 숫자 $1, 1, 2, 3$을 일렬로 나열하는 경우의 수는 총 $12$가지입니다.
답
③ $12$
확인해보기
오늘 배운 '같은 것이 있는 순열' 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> **Q. 다섯 개의 숫자 $1, 1, 1, 2, 3$을 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는 몇 가지일까요?** (힌트: 이번에는 똑같은 숫자 $1$이 3개 있습니다!)