어떤 문제인가
이 문제는 두 사건의 관계와 여사건의 성질을 이용하여 특정 사건이 일어나지 않을 확률을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 여사건의 확률: 어떤 사건 $A$가 일어나지 않을 확률 $\mathrm{P}(A^C)$는 전체 확률 $1$에서 사건 $A$가 일어날 확률을 뺀 것과 같습니다. 즉, $\mathrm{P}(A^C) = 1 - \mathrm{P}(A)$ 입니다.
- 배반사건: 두 사건 $A, B$가 동시에 일어날 수 없을 때(즉, 교집합이 공집합일 때) 두 사건을 '서로 배반사건'이라고 합니다. 이때 두 사건이 동시에 일어날 확률은 $\mathrm{P}(A \cap B) = 0$이 됩니다.
- 확률의 덧셈정리: 일반적으로 $\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B)$ 이지만, 두 사건이 배반사건이면 $\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B)$ 가 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 여사건의 성질을 이용해 $\mathrm{P}(A)$ 구하기
문제에서 사건 $A$의 여사건의 확률이 $\mathrm{P}(A^C) = \frac{5}{6}$라고 주어졌습니다.
사건 $A$가 일어날 확률 $\mathrm{P}(A)$는 전체 확률 $1$에서 여사건의 확률을 빼서 구할 수 있습니다.
$$\mathrm{P}(A) = 1 - \mathrm{P}(A^C) = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$$
2단계: 배반사건의 성질을 이용해 $\mathrm{P}(B)$ 구하기
두 사건 $A, B$는 서로 '배반사건'이므로, 두 사건의 합집합의 확률은 각각의 확률을 더한 것과 같습니다.
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B)$$
문제에서 $\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{3}{4}$이라고 주어졌고, 1단계에서 구한 $\mathrm{P}(A) = \frac{1}{6}$을 이 식에 대입해 봅시다.
$$\frac{3}{4} = \frac{1}{6} + \mathrm{P}(B)$$
이제 $\mathrm{P}(B)$에 대해 식을 정리하고 계산해 볼까요? 분모를 $12$로 통분하여 계산합니다.
$$\mathrm{P}(B) = \frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}$$
3단계: 구하고자 하는 $\mathrm{P}(B^C)$ 계산하기
우리가 최종적으로 구해야 하는 값은 $B$의 여사건의 확률인 $\mathrm{P}(B^C)$입니다. 다시 한번 여사건의 확률 공식을 사용합니다.
$$\mathrm{P}(B^C) = 1 - \mathrm{P}(B)$$
2단계에서 구한 $\mathrm{P}(B) = \frac{7}{12}$을 대입합니다.
$$\mathrm{P}(B^C) = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$$
답
② $\frac{5}{12}$
확인해보기
만약 두 사건 $A, B$가 서로 배반사건이 아니고, 두 사건이 동시에 일어날 확률이 $\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{12}$이라고 가정한다면, 동일한 조건($\mathrm{P}(A^C) = \frac{5}{6}$, $\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{3}{4}$)에서 $\mathrm{P}(B^C)$의 값은 어떻게 변할지 스스로 계산해 보세요.