어떤 문제인가
이 문제는 다항식의 거듭제곱을 전개했을 때, 특정 차수를 가진 항의 계수(숫자 부분)를 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 이항정리 (Binomial Theorem): 두 항의 합의 거듭제곱 $(a+b)^n$을 전개하는 공식입니다.
- 일반항 (General Term): 전개식에서 임의의 한 항을 대표하는 식으로, $\binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ 형태로 나타냅니다.
- 지수법칙: 문자의 거듭제곱을 정리할 때 사용하는 규칙입니다. (예: $(x^a)^b = x^{ab}$)
단계별 풀이
1단계: 이항정리의 일반항 세우기
주어진 다항식 $(x^2 - 2)^5$를 이항정리 공식에 대입하기 위해 두 부분으로 나눕니다.
- 첫 번째 항 $a = x^2$
- 두 번째 항 $b = -2$ (부호에 주의하세요!)
- 거듭제곱 횟수 $n = 5$
이항정리에 의해 이 전개식의 일반항은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. (여기서 $r$은 $0$부터 $5$까지의 정수입니다.)
$$\text{일반항} = \binom{5}{r} (x^2)^{5-r} (-2)^r$$
2단계: 식을 문자($x$)와 숫자로 분리하여 정리하기
지수법칙을 사용하여 $x$가 들어간 부분과 숫자(상수) 부분을 깔끔하게 나누어 정리해 봅시다.
$(x^2)^{5-r}$은 지수법칙에 의해 $x^{2(5-r)} = x^{10-2r}$이 됩니다.
이를 일반항에 다시 대입하면 다음과 같습니다.
$$\text{일반항} = \binom{5}{r} (-2)^r x^{10-2r}$$
여기서 앞부분인 $\binom{5}{r} (-2)^r$이 우리가 구하고자 하는 계수가 되고, 뒷부분인 $x^{10-2r}$이 문자(차수)가 됩니다.
3단계: $x^6$ 항이 되기 위한 $r$의 값 찾기
우리가 찾는 것은 $x^6$의 계수이므로, $x$의 지수인 $10-2r$이 $6$이 되어야 합니다. 방정식을 세워볼까요?
$$10 - 2r = 6$$
이 식을 풀면 다음과 같습니다.
$$2r = 4$$
$$r = 2$$
즉, $r=2$일 때 $x^6$ 항이 만들어집니다.
4단계: $r=2$를 대입하여 계수 계산하기
이제 일반항의 계수 부분에 $r=2$를 대입하여 최종 계수를 구합니다.
$$\text{계수} = \binom{5}{2} (-2)^2$$
각각의 값을 계산해 봅시다.
- 조합(Combination) 계산: $\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$
- 거듭제곱 계산: $(-2)^2 = 4$
따라서 구하고자 하는 계수는 다음과 같습니다.
$$\text{계수} = 10 \times 4 = 40$$
답
정답은 **④ $40$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 방법을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 같은 다항식 $(x^2 - 2)^5$의 전개식에서 $x^4$의 계수는 얼마일까요?
> (힌트: $x$의 지수가 $4$가 되도록 하는 $r$의 값을 먼저 찾아보세요!)